=9

3) نمایش نمودار ون: در این روش معمولا برای نمایش مجموعه از اشکال هندسی استفاده می شود.
4) روش تعلق(تابع عضویت): در این روش عضو بودن یا عضو نبودن یک شی در مجموعه مد نظر است، این کار توسط یک تابع به نام تابع عضویت انجام می پذیرد. فرض کنید Α مجموعه مورد نظر باشد، χΑتابعی از مجموعهΑ به مجموعه∘,١ به صورت زیر تعریف میشود:
χAx=١ x ∈A∘ x ∉Aدر واقع عضو بودن با عدد 1 و عدم عضویت با عدد ∘ مشخص میشود.
.12. روابط و اعمال روی مجموعهها
تعریف 1.2.1[34].(شمولیت یا زیرمجموعه بودن) مجموعههای Α وB را روی مجموعه مرجع X در نظر بگیرید، اگر هر عضو ،Αعضوی از B باشد آنگاه Α را زیر مجموعه Bگوییم و این گونه نمایش میدهیم:
ΑB x∈Α x∈B), ∀ x∈X.
تعریف 1.2.2 [34].مجموعه تمام زیر مجموعههای Αرا مجموعه توانیΑ مینامیم و با نماد P(A) نمایش میدهیم.
تعریف 1.2.3[34].(اجتماع دو مجموعه) اگرA وB دو مجموعه دلخواه روی مجموعه مرجع X باشند، اجتماع آنها به صورت زیر تعریف میشود:
Α∪B =x∈X∣x∈A یا x∈B
تعریف 1.2.4[34].(اشتراک دو مجموعه) فرض کنید Α وB دو مجموعه دلخواه روی مجموعه مرجعX باشند، اشتراک آنها به صورت زیر تعریف میشود:
A∩B=x∈X∣x∈A و x∈B.
تعریف1.2.5[10].(تفاضل دو مجموعه) فرض کنید Aو Bدو مجموعه دلخواه روی مجموعه مرجعX باشند، تفاضل دو مجموعه به صورت زیر تعریف میشود:
A-B=x∈X∣x∈A و x∉B.
تعریف1.2.6[10].(متمم یک مجموعه) فرض کنیدX مجموعه مرجع وA یک مجموعه دلخواه بر روی آن باشد، در این صورت متمم مجموعه A عناصری ازX میباشند که متعلق به A نباشند.
Ac=X-Aتعریف1.2.7.[ 10](مجموعه محدب) فرض کنیدA زیر مجموعهای از اعداد حقیقی ℝ باشد مجموعهA را محدب گوییم هرگاه:
∀x1,x2∈A , ∀ λ∈∘,1 , λx1+1-λx2∈A .
تعریف1.2.8 [10].فرض کنید A وB دو مجموعه دلخواه باشند، حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه به این صورت تعریف میشود:
A B =(x,y)∣x ∈A, y∈B.
تعریف1.2.9 [10].اگر A وB دو مجموعه دلخواه باشند، Rرا رابطه ای از A به B گویند، هرگاه RAB باشد. در واقع رابطه یک نوع مجموعه دو بعدی می باشد. اگر R A A باشد، R را رابطهای رویA گویند.
1.3. خاصیتهای رابطهها
فرض کنید R رابطه ای روی A باشد آنگاه
1) رابطه R را بازتابی گویند هرگاه , ∀a∈A , a,a∈R
2) رابطه Rرا تقارنی گویند هرگاه, ∀a,b∈A , [ a,b∈R⟹b,a∈R
3) رابطه R را پادتقارنی گویند هرگاه
∀a,b∈A , [a,b∈R, b,a∈R⟹a=b.
1.4 .مجموعههای فازی
در نظریه مجموعههای فازی، عضویت یک عضو در یک مجموعه درجه بندی می شود و در بازه ∘,1 تعریف میگردد. بنابراین یک عضو در یک مجموعهی فازی به همراه درجه عضویت خود بیان میگردد.
تعریف1.4.1 [10]. یک مجموعهی فازی Α بررویX، بوسیله یک تابع عضویت μA که
μA∶X→∘,1,تعریف میگردد. در اینجا مقدار μΑxعبارت است از مقدار عضویت یا درجه عضویت x∈X. مقدار عضویت بیانگر درجه تعلق به مجموعه فازیΑ است. هرچه مقدارμΑx به یک نزدیکتر باشد، درجه تعلق عنصر xبه مجموعه فازی Α بیشتر است و اگر μΑx= ∘، آنگاه میگوییم عنصر xبه مجموعه فازیΑ هیچ تعلقی ندارد.
1.4.1. نمایش مجموعههایفازی
روشهای متداول برای نمایش مجموعههای فازی عبارتند از:
الف) نمایش مجموعه فازی گسسته: فرض کنید مجموعه مرجع X متناهی وگسسته باشد یعنی
X=x١,x٢,…,xmو A یک مجموعه فازی روی X باشد در این صورت:
A=μΑ(x١)x١+μΑ(x٢)x٢+∙∙∙+μΑ(xm)xm یا A=i=١mμΑxixi .
در اینجا نماد + برای بیان اجتماع می باشد.
ب) نمایش مجموعه فازی پیوسته: وقتی مجموعه مرجع X یک مجموعه نامتناهی و پیوسته باشد، مجموعه فازی بر روی آن را میتوان به صورت زیربیان کرد:
A=μΑ(x)x .ج) نمایش مجموعهای:
A=μΑx١x١ , μΑx٢x٢ , ∙∙∙ , μΑxmxm . در حالت گسسته: (1
A= x,μΑx∣ x ∈X,μΑx∈∘,1 2) در حالت پیوسته: .
.14.2. چند تعریف مقدماتی برای مجموعه فازی
فرض کنید A یک مجموعه فازی روی مجموعه مرجع X باشد.
تعریف1.4.2 [10].1. به بیشترین مقدار تابع عضویت مجموعه فازی A ارتفاع آن مجموعه فازی گفته میشود و آن را با نماد hA نمایش میدهیم که عبارت است از:
2508250110490x∈X00x∈XhA=sup μΑx.
تعریف1.4.2 [10].2. مجموعه فازی A را نرمال گوییم هرگاه: =1 hAتعریف1.4.2 [10].3.به مجموع عضویتهای مجموعه فازی A عدد اصلی آن گفته میشود.
A=x∈XμΑx .
تعریف1.4.2 [10].4. عدد نسبی مجموعه فازی A عبارت است از:
Α=ΑX .
تعریف1.4.2 [10].5. مجموعه فازی Α محدب است اگر،
22053551583690x100x132283881583893x300x325082501577975x200x2141063577746810011380490365760μΑ00μΑ∀x١,x2∈X ,∀λ∈∘,1 , μΑλx١+١-λx2≥minμΑx١,μΑx2.
شکل 1.1 مجموعه فازی محدب
1329690295910μB00μB
1312545104140100131648401066165x300x324028401066165x200x219323051066165x100x1
شکل 2.1 مجموعه فازی نامحدب
تعریف1.4.2 [10].6. فرض کنید A یک مجموعه فازی روی مجموعه مرجع Xباشد آنگاه برای هر عدد α∈∘,1، تعریف میکنیم
α- برش : . αA = x ∈X∣Ax≥α
α- برش قوی : .α+A =x ∈X∣Ax>α
α- برش یک مجموعه فازی، خود یک مجموعه قطعی میباشد.
تعریف1.4.2 [10].7. فرض کنید B و Aدو مجموعه فازی روی مجموعه مرجع Xباشند، A را زیر مجموعه B گویند هرگاه برای هر x∈X، μA(x)≤ μB(x) باشد.
.14.3. عملگرهای بر روی مجموعههای فازی
در این بخش متمم ،اجتماع و اشتراک مجموعههای فازی را معرفی میکنیم.
تعریف1.4.3 [34].1.متمم مجموعه فازی Α را به صورتAc یا CA نمایش میدهیم که خود یک مجموعهی فازی است و آن را توسط تابع عضویت به صورت زیر تعریف میکنیم:
μAcx=١-μΑx , ∀ x∈X .تعریف1.4.3 [34].2.اجتماع مجموعههای فازیΒ ,Α یعنی Α∪Βبه کمک تابع عضویت زیر تعریف میشود:
μ Α∪Βx=μΑx ⋁ μΒx= maxμΑx, μΒx, ∀ x∈X.تعریف1.4.3 [34].3.اشتراک مجموعههای فازیΒ ,Α یعنی Α∩Βبه کمک تابع عضویت زیر تعریف میشود:
μ Α∩Βx=μΑx∧ μΒx= minμΑx, μΒx, ∀ x∈X..15. اصل توسیع
یکی از اساسیترین مفاهیم تئوری مجموعههای فازی که میتواند مفاهیم ریاضیات کلاسیک(غیرفازی) رابه مجموعههای فازی تعمیم دهد، اصل توسیع میباشد که در شکل مقدماتی آن اولین بار توسط پرفسور زاده در سال 1965مطرح گردید.
فرض کنید f نگاشتی از مجموعهی Xبه مجموعهی دیگری مانندY باشد، به عبارت دیگر f:X→Y و فرض میکنیم Α زیرمجموعهای از Xاست. آن گاه fA=y∈Y∣y= fx ,x∈A تصویر Α بوسیله f نامیده میشود که fA زیر مجموعهای از Y است.
فرض میکنیم Bزیرمجموعهای از Yاست، آن گاه f-١B=x∈X∣ fx=y ,y∈B تصویرمعکوسB بوسیله f نامیده میشود. ضمنا f-١B زیر مجموعهای از X است.
تعریف1.5.1 [3].نگاشت f:X→Y را برای ایجاد رابطه بین مجموعهی فازیΑ بر روی X، و مجموعهی فازی Bبر روی Yبه صورت زیر توسعه میدهیم:
2281938198132y= fx00y= fxμfAy=supμΑx ∘ f-١y≠ϕ,f-١y=ϕ..16. جبر مجموعههای فازی
با استفاده از اصل توسیع میتوان عملگرهایی بر روی مجموعههای فازی با تابع عضویت داده شده به صورت زیر تعریف نمود:
2325035460770z=x+y00z=x+yحاصل جمع دو مجموعه فازی: μΑ⊕Βz=sup minμΑx, μΒy. تفاضل دو مجموعه فازی:
2282825175895z=x-y00z=x-y μΑ⊖Βz=sup minμΑx, μΒy. حا صل ضرب دو مجموعه فازی: 2219053179803z=x×y00z=x×y μΑ⨂Βz=sup minμΑx, μΒy.
تقسیم دو مجموعه فازی:
2350770147955z=x÷y00z=x÷yμΑ⊘Βz=sup minμΑx, μΒy. .17. اندازههای تعریف شده بر روی مجموعههای فازی
1.7.1. اندازه فاصله
تعریف1.7.1 [10].1. فرض کنیدA ، Bو C سه مجموعه فازی روی X باشند، اندازه فاصله بین A وB را به صورت d(A,B) نشان می دهیم که از خواص زیر برخوردار است:
1( ∘≤ d(A, B) ≤١ ;
2( d(A, B) = ∘ ⇔ A =B ;
(3 d(A, B) =d(B, A) ;
(4 A⊂B⊂C⇒dA, B≤dA, C, d(B, C)≤d(A, C).
اندازههای فاصله زیادی برای مجموعههای فازی و توسیعهای آن تعریف شده است که تعدادی از اندازههای فاصله را می توان در 22و 9،2،1 مشاهده نمود. در اینجا به تعریف چند اندازه فاصله مهم میپردازیم. فرض میکنیم که مجموعه مرجع مورد مطالعه، یعنی X=x١,x٢,…,xmمتناهی است. برای دو مجموعه فازی Α و Β روی X به ترتیب با توابع عضویت μΑو μΒاندازههای فاصله زیر ارائه شده اند:
فاصلهی هامینگ :
dHA,B=i=١mμΑxi- μΒxi.
فاصلهی هامینگ نرمال شده :
dNHA,B=١mi=١mμΑxi- μΒxi .
فاصلهی اقلیدسی :
dEA,B=i=١mμΑxi- μΒxi٢.
فاصلهی اقلیدسی نرمال شده :
dNEA,B=١mi=١mμΑxi- μΒxi٢.
.17. 2. اندازه شباهت
اندازه شباهت یکی از پرکاربردترین و جذابترین مفاهیم در مجموعههای فازی است که درجه شباهت دو مجموعه فازی را نسبت به هم بیان میکند، اندازه شباهت را اینگونه تعریف میکنیم.
تعریف1.7.2 [10].1. فرض کنید Aو Bدو مجموعه فازی روی X=x1,x2,…,xm باشند، اندازه شباهت بین A وB را به صورت s(A,B)نشان میدهیم که دارای خواص زیر است:
(1 ∘≤s(A, B)≤1;
(2 s(A, B)=1⇔A=B;
(3 s(A, B)=s(B, A) ;
(4 A⊂B⊂C⇒ sA, C≤sA, B و s(A, C)≤s(B, C).
فصل دوم
بررسی اندازههای شباهت برای مجموعه‌های فازی مردد
مقدمه
بعد از اینکه مفهوم مجموعه فازی توسط زاده [20]بیان شد، نظریهها و قضایای جدید بسیاری در این زمینه معرفی گردید. برخی از آنها که توسیع مجموعه فازی معمولی هستند عبارتند از: مجموعههای فازی شهودی[17]، مجموعههای فازی بازهای مقدار[18]، مجموعههای گنگ [28]و مجموعههای فازی نوع دوم[21]. جذابیت کاربردی این مفاهیم سبب گردید تا محققان زیادی روی این مجموعهها مطالعه کنند و به نتایج بسیاری در موضوعات مختلف علمی دست یابند. با وجود این توسیعها از مجموعه فازی، در برخی از مسائل مشکل و خللی احساس میشد، مثلا در یک مساله تصمیمگیری، چند نفر متخصص وجود دارند که هر یک میتوانند یک پیشنهاد در خصوص درجه عضویت یک عنصر در یک مجموعه را بدهند، بعد از ثبت نظرات آنها مشاهده میشود که اختلاف نظر بسیار است و به هیچ عنوان نمیشود آنها را به یک نظر واحد رساند. یا در برخی از مسائل، تصمیم گیرنده در تعیین درجه عضویت یک عنصر در مجموعهای دچار تردید است و چندین درجه عضویت را برای یک عنصر درآن مجموعه تعیین میکند. چون مجموعه فازی و توسیعهای آن، که در بالا بیان کردیم نمیتوانستند به اینگونه از مسائل پاسخ دهند، توسیع جدیدی از مجموعه فازی بنام مجموعه فازی مردد برای پاسخ دادن به این قبیل از مسائل مطرح گردید.
تورا و ناراکاوا [27,26]مفهوم مجموعه فازی مردد را معرفی کردند که توسیعی از مجموعه فازی معمولی است. در این مجموعه مجاز هستیم که چندین مقدار شدنی بین صفر و یک را به عنوان درجه عضویت برای یک عنصر قرار دهیم. بعد از تورا توجه زیادی به این مجموعه شد و مطالعات و تألیفات زیادی در خصوص مجموعه فازی مردد انجام گردید. برای مثال چن[24] در خصوص ضریب همبستگی در مجموعههای فازی مردد به طور سیستماتیک تحقیق کرد و از آن در تجزیه و تحلیل خوشه بندی استفاده کرد. ژیا و ژو[23] بر روی عملگر جمع در مجموعه های فازی مردد مطالعه کردند و آنها را درمسائل تصمیم گیری به کار بردند. از دیگرکارهای مطالعاتی در زمینه مجموعه های فازی مردد میتوان به[5]،[7] ،[12] ،[31] و [33] اشاره نمود.
اندازه شباهت یک موضوع بسیار مهم در نظریه مجموعه فازی است که به بیان ساده عبارت است از بدست آوردن درجه شباهت بین دو مجموعه فازی. بعد از آنکه زاده مفهوم رابطه تشابه را معرفی کرد، اندازه شباهت در مجموعه های فازی به طور وسیع از جنبه های مختلف مورد مطالعه قرار گرفت و در زمینه های مختلف مانند: تصمیم گیری فازی، تجزیه و تحلیل خوشهای ، پیش بینی بازار، تخمین زدن، پردازش تصویر، الگوی تشخیص و غیره به کار گرفته شد.
فن و ژی [15]همانند لیو [30] بر روی برخی از ویژگیهای اندازه شباهت در مجموعههای فازی مطالعه کردند و قضایایی در این خصوص ارائه نمودند. پاپیس و کاراکاپلیدیس[8] سه اندازه شباهت در مجموعه های فازی را مبتنی بر عملگرهای اشتراک و اجتماع مورد بررسی قرار دادند. ونگ[29] دو اندازه شباهت بین مجموعه های فازی را بدست آورد. ترکسن و ژونگ[14] اندازه شباهت در مجموعه های فازی را در یک برهان قیاسی بهینه به کار گرفتند. کندن و همکارانش[19] اندازهای شباهت را درگسترش پردازش نا منظم، با معانی فازی متفاوت به کار بردند. بیشترین اندازههای شباهت برای مجموعه های فازی شهودی، مجموعههای فازی بازهای مقدار، مجموعههای گنگ و مجموعههای فازی نوع دوم مطرح گردیده و به طور جامع در مقالات بسیاری توسعه داده شده است.
فرهادی نیا [3] در زمینه اندازههای فاصله و شباهت روی مجموعههای فازی مردد مطالعات زیادی انجام داد. حاصل مطالعات ایشان منجر به این شد که بتواند خانوادهای از اندازههای فاصله و شباهت روی مجموعههای فازی مردد را تولید کند. ژیا و ژو [32]یک اصل در خصوص اندازههای فاصله و شباهت در مجموعههای فازی مردد و چند اندازه شباهت مبتنی بر اندازه فاصله را برای این مجموعه تعریف کردند.
در ادامه این فصل، اندازه های شباهت در مجموعههای فازی مردد را مورد بررسی بیشتر قرار خواهیم داد.
2.1. تعاریف اولیه
در اینجا، به طور خلاصه تعاریف و مفاهیم لازم مرتبط با مجموعههای فازی مردد را که در این فصل به اختصار (HFSs)مینویسیم یادآوری میکنیم.
تعریف 2.1.1. اگر Xبه عنوان مجموعه مرجع باشد، مجموعه فازی مردد توسط تابعی چند مقداره رویX کهX را به ∘,1 میبرد توصیف میگردد و میتوان آن را به شکل زیر نمایش داد:
H =x,μH(x)∣x∈X.μH(x) مجموعهای از مقادیر بین صفر و یک است که بیان کننده درجههای عضویت عنصر x∈X در مجموعه H است.
ازμH(x) به عنوان عنصر فازی مردد در مجموعهH نام میبریم و دراین فصل آن را به اختصار (HFE) مینویسیم.
فرض2.1.1. از این پسn(μH(x)) را به عنوان تعداد مقادیر درμH(x) معرفی میکنیم. مقادیر μH(x) را به صورت نزولی مرتب میکنیم و μHσj(x) را به عنوان j- امین مقدار کوچک در μH(x) تعریف میکنیم.
مثال2.1.1. فرض کنید X=x1,x2,x3 مجموعه مرجع باشد و μHx1=0/5,0/4,0/2، μHx2=0/4,0/3 وμHx3=0/6,0/5,0/4,0/1 عناصر فازی مردد مرتبط با xi ها i=1,2,3 در مجموعه H باشند. آنگاه H یک مجموعه فازی مردد است که آنرا به صورت زیر نمایش میدهیم
H=x1,0/5,0/4,0/2,x2,0/4,0/3,x3,0/6,0/5,0/4,0/1.در مثال فوق nμHx1=3 ، nμHx2=2 و nμHx3=4 است.
فرض کنید A و Bدو مجموعه فازی مردد روی X باشند، در بسیاری از مواقع n(μA(x))≠n(μB(x)) که برای صحیح بودن عملیات، می بایست تعداد مقادیر عضویت در عناصر متناظر دو مجموعه فازی مردد مساوی باشند تا نسبت به هم مقایسه پذیر باشند. در اینجا باید آن مجموعهای که تعداد مقادیرش کمتر است را توسعه دهیم تا با مجموعه دیگر برابر شود.
در این فصل اساس کار برای برقراری تساوی تعداد مقادیر عناصر فازی مردد که در دو مجموعه فازی مردد با هم متناظرند، به شرح زیر است:
فرض2.1.2. اگر برایx مشخصی درX، n(μA(x))>n(μB(x)) آنگاه μB(x) باید بوسیله اضافه کردن کمترین مقدار در آن، توسعه داده شود تا تعداد مقادیرش با μA(x) برابر شود و اگر n(μA(x))<n(μB(x)) باشد، باید μA(x) بوسیله اضافه کردن کمترین مقدار در آن توسعه داده شود تا تعداد مقادیرش با μB(x) برابر شود.
تذکر2.1.2. حالت بیان شده در فرض بالا به صورت بدبینانهدر نظر گرفته شده است. اگر بخواهیم خوشبینانهعمل کنیم میتوان با اضافه کردن بیشترین مقدار در مجموعهای که تعداد مقادیرش کمتر است، آن را توسعه دهیم.
مثال2.1.2. فرض کنیدμA(x)=0/5,0/4 وμBx=0/7,0/4,0/2. همانطور که مشاهده میشود nμA(x)<nμB(x)پس بایدμA(x) به صورت μA(x)=0/5,0/4,0/4 توسعه داده شود.
در حقیقت مطابق نظر تصمیم گیرنده، بر اساس اولویت و شرایط مسأله میتوان عنصر فازی مردد کوچکتر را با اضافه کردن هر مقداری از آن توسعه داد تا تعداد مقادیرش با عنصر فازی مردد بزرگتر برابر شود ولی در اینجا مطابق فرض فوق عمل میشود.
در تعریف زیر به دنبال آن هستیم تا به ارائه چند تعریف از رابطه ترتیب بر روی مجموعههای فازی مردد بپردازیم.
تعریف2.1.2. فرض کنید A و B دو مجموعه فازی مردد روی مجموعه مرجع X باشند. برای هرx∈X ، nx=max nμA(x),nμB(x) را تعریف میکنیم. با این مفروضات روابط ترتیب مابین عناصر فازی مردد به صورت زیر تعریف میگردند:
1) برای x∈X،μA(x) را شبه کوچکتر نسبت به μB(x) گوییم و به صورت μ B(x) μA(x)≼ نمایش میدهیم اگر
j=1,2,…,nx , ∀x∈X. , μBσj(x) ≤ μAσj(x)2) برای x∈X،μA(x) را کوچکتر نسبت به μB(x) گوییم و به صورت μ B(x) μA(x)≤ نمایش میدهیم اگر
j=1,2,…,nx , ∀x∈X. , μBσjx, nx=nμA(x)=n(μB(x)) ≤ μAσj(x)3) برای x∈X،μA(x) را مساوی با μB(x) گوییم و به صورت μ B(x) μAx= نمایش میدهیم اگر
j=1,2,…,nx , ∀x∈X. , μBσj(x) = μAσj(x)تعریف2.1.3. فرض کنید A و B دو مجموعه فازی مردد روی مجموعه مرجع X باشند. برای هرx∈X ، nx=max nμA(x),nμB(x)را تعریف میکنیم. با این مفروضات روابط ترتیب مابین مجموعههای فازی مردد به صورت زیر تعریف میگردند:
1) برای x∈X، مجموعه فازی مردد A را شبه زیر مجموعهی مجموعه فازی مردد B مینامیم و به صورت A ⊑B نمایش میدهیم اگر μA(x) نسبت به μ B(x) شبه کوچکتر باشد یعنی
, ∀x∈X. μ B(x) μA(x)≼2) برای x∈X، مجموعه فازی مردد A را زیر مجموعهی مجموعه فازی مردد B مینامیم و به صورت A ⊆B نمایش میدهیم اگر μA(x) نسبت به μ B(x) کوچکتر باشد یعنی
, ∀x∈X. μ B(x) μA(x)≤3) برای x∈X، مجموعه فازی مرددA را برابر با مجموعه فازی مردد Bمینامیم و به صورتA=B نمایش میدهیم اگر μA(x) مساوی μ B(x) باشد یعنی
, ∀x∈X. μ B(x) μAx=در فصل قبل اندازههای فاصله و شباهت را در تعاریف 1.7.1.1 و 1.2.7.1 بیان کردیم، در این قسمت نیز در قالب یادآوری آنها را مطرح میکنیم که البته بر اساس رابطه ترتیب ⊑ ، دوباره نویسی شده اند.
یادآوری2.1.1. فرض کنید A و Bدو مجموعه فازی مردد رویباشند X=x1,x2,…,xm و به ازای تمام زوجهای ( A, B) از مجموعههای فازی مردد روی X تعریف میکنیم dmax=maxd( A, B) .
حال اندازه فاصله بین A و Bرا به صورت d( A, B) نمایش میدهیم که دارای خواص زیر است:
D1 ∘ ≤ d(A, B) ≤ dmax ,
D2 d(A, B) = ∘ ⇔ A = B ,
D3 d(A, B) = d(B, A).
فرض کنید C یک مجموعه فازی مردد باشد، اگر A⊑B⊑Cآنگاه d A,B≤dA, C (D4) و. dB, C≤ dA, C لازم به تذکر است اگر 1∘≤ d A,B ≤ (D1) را جایگزین D1 نماییم آنگاه اندازه فاصله d A,Bرا نرمال شده مینامیم.
یادآوری2.1.2. فرض کنید A و B دو مجموعه فازی مردد روی X=x1,x2,…,xmباشند. اندازه شباهت بین A و Bرا به صورتs(A, B) نمایش میدهیم که ویژگیهای زیر را دارا میباشد:
(S1) ∘ ≤ s A,B ≤ 1,
(S2) s A,B = 1 ⇔ A=B,
(S3) s A,B =sB ,A,
فرض کنید C یک مجموعه فازی مردد باشد، اگر A ⊑B ⊑Cآنگاه s A,C ≤s A,B (S4) و. s A,C ≤ sB,C .22. بررسی چند اندازه شباهت برای مجموعههای فازی مردد
در این قسمت فرض کنید A وB دو مجموعه فازی مردد رویباشند X که X=x1,x2,…,xm میباشد. حال چند اندازه شباهت را برای مجموعههای فازی مردد بیان و بررسی میکنیم. بخش زیادی از اندازههای فاصله و شباهت مطرح شده در این قسمت از منابع[11] و [23] استخراج گردیده است.
2.2.1. اندازه شباهت مبتنی بر مدل فاصله هندسی
اندازههای فاصله هندسی بسیاری بین مجموعه های فازی مردد AوB معرفی شده است که تعدادی از آنها به شرح زیر هستند:
فاصله هامینگ نرمال شده مردد:
d1A,B=1mi=1m (1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxi). (1)
فاصله اقلیدسی نرمال شده مردد:
d2A,B=1mi=1m(1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxi2). (2)
فاصله نرمال شده مردد تعمیم یافته:
d3A,B=1mi=1m(1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p, p>∘ . (3)
فاصله نرمال شده مردد تعمیم یافته نوع 2:
(4) . d4A,B=1mi=1m(1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p, p>∘
فاصله اقلیدسی نرمال شده مردد نوع 2:
d5A,B=1mi=1m1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxi2 . (5)
قضیه 2.2.1.1. d4A,B یک اندازه فاصله نرمال شده بین مجموعه های فازی مردد A و B است.
اثبات : اثبات اینکه d4A,B دارای ویژگی های (D1)-D3 میباشد بسیار ساده است. در اینجا فقط D4 را اثبات می کنیم.
فرض کنید A⊑B⊑Cباشد. برای هر xi∈Xداریم μA(xi)≼μB(xi)≼μC(xi)، آنگاه:
μAσjxi-μBσjxip≤μAσjxi-μCσjxip,μBσjxi-μCσjxip≤μAσjxi-μCσjxip,در نتیجه
1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip≤1nxij=1nxiμAσjxi-μCσjxip,
1nxij=1nxiμBσjxi-μCσjxip≤ 1nxij=1nxiμAσjxi-μCσjxip.
با توجه به تعریف اندازههای فاصله، روابط فوق منجر به نتایج زیر میگردد
d4A,B≤d4A,C , d4B,C≤d4A,C. □
قابل به ذکر است که فاصله مردد تعمیم یافتهی نوع2d4A,B را میتوان به صورتهای زیر نیز تعریف کرد.
d6A,B= i=1m(1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p , p>∘; (6)
d7A,B=1mi=1m(j=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p, p>∘ ; (7)
d8A,B=i=1m(j=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p, p>∘ . (8)
به وضوح تعاریف فوق از فاصله مردد تعمیم یافته نوع 2، شرط (D1) را برقرار نمیسازند.
قضیه 2.2.1.2. diA,B (i=6,7,8) تعیین کننده اندازه فاصله بین دو مجموعه فازی مردد A و B هستند و دارای خواص زیر هستند
1 ∘≤d6A,B≤m,
2 ∘≤d7A,B≤1mi=1m(nxi)1p,
3 ∘≤d8A,B≤i=1m(nxi)1p.
اثبات: اثبات برقراری D2-(D4) مانند اثبات قضیه 2.2.1.1 است و ما فقط 1-3 را اثبات میکنیم.
فرض کنید برای هر xi∈X و j=1,2,…,nxi ،μAσjxi=1 و μBσjxi=∘ ، در نتیجه d6A,B=m و d7A,B=1mi=1m(nxi)1p و d8A,B=i=1m(nxi)1p . □
از آنجایی که متر lp نقش خود را تعریف اندازههای فاصله برای مجموعههای فازی و مجموعههای فازی شهودی به خوبی ایفا کرده است، لازم دیدیم تا در اینجا اندازههای فاصلهای را برای مجموعههای فازی مردد مبتنی بر متر lp ارائه نماییم.
یادآوری مینماییم که هر عنصر در فضای lp یک دنباله از اعداد به صورت زیر تعریف میگردد A=μAσj=μAσ1,μAσ2,… که برای p≥1،j=1∞μAσjp<∞ میباشد. متر تعریف شده روی این فضا عبارتست از
dA,B=j=1∞μAσj-μBσjp)1p , p≥1.که B=μBσj و j=1∞μBσjp<∞ میباشد.
اگر مفهوم lp را برای اندازه فاصله در مجموعههای فازی مردد بکار ببریم، آنگاه فاصلهی lp مردد به صورت زیر بدست می آید:
d9A,B=1mi=1m(1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p , p≥1 . (9)


اگر پارامترp در تعریف فاصله مردد تعمیم یافته نوع 2را با خاصیت p≥1در نظر بگیریم، در آن صورت d7A,B همان فاصله lp مردد d9A,B میباشد.
122017610321971≤j≤nxi001≤j≤nxiاز نتایج قابل توجه و برگرفته از تعریف اندازه فاصله d9A,B میتوان به این نکته اشاره کرد که اگر p→∞، آنگاه فاصله lp مردد d9A,B به فاصله هامینگ- هاسدرف نرمال شده مردد تبدیل میشود.
d10A,B=1mi=1mmaxμAσjxi-μBσjxi . (10)
اثبات نتیجهی فوق را میتوان در لم زیر مشاهده نمود.
30333957308851≤i≤k001≤i≤kلم2.2.1.1. فرض کنید،i=1,2,…,k برای ai∈R و ai≥∘. آنگاه
limp→∞a1p+a2p+…+akp1p=maxai, p≥1 .
385566510433051≤i≤k001≤i≤kاثبات: اگر برای ai=∘،i=1,2,…,kیاa1=a2=…=ak باشد، آنگاه limp→∞kaip1p=ai که در این حالت اثبات بسیار واضح و روشن است. فرض کنید ai≠aj ، i≠j ، i,j=1,2,…,k آنگاه نشان میدهیم که limp→∞a1p+a2p+…+akp1p=maxai, p≥1 برقرار است. بدون اینکه خللی در کلیت مسأله پیش آید فرض میکنیم a1≥a2≥…≥ak و y=a1p+a2p+…+akp1p، آنگاه
limlny=p→∞ limp→∞lna1p+a2p+…+akpplimlny=p→∞ limp→∞a1plna1+a2plna2+…+akplnaka1p+a2p+…+akp =limp→∞lna1+a2a1plna2+…+aka1plnak1+a2a1p+…+aka1p=lna1 .
36937956737351≤i≤k001≤i≤kبنابراین
maxai. □ limp→∞y=limp→∞a1p+a2p+…+akp1p=a1=24093607084991≤j≤nxi001≤j≤nxiقضیه 2.2.1.3.
limp→∞d9A,B=1mi=1mmaxμAσjxi-μBσjxi .
اثبات: از لم 2.2.1.1 استفاده کرده و اثبات واضح است.
در بسیاری از مسائل نیاز بر این است که برای عنصرxi∈X وزن در نظر بگیریم. بر اساس چنین نیازی فاصله وزن دار را در مجموعههای فازی مردد تعریف نمودهاند که در زیر به تعدادی از آنها اشاره خواهیم کرد.
فرض کنید Wi (i=1,2,…,m) وزن عناصر xi∈X باشند به طوریکهWi∈∘,1 و i=1mWi=1 باشند. آنگاه فاصله وزن دار مردد تعمیم یافته نوع 2 عبارتست از:
(11) d11A,B=i=1mWi(1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p , p>∘.و فاصله وزن دار lp مردد عبارتست از:
(12) . d12A,B=i=1mWi(j=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p , p≥1واضح است، اگر تمام عناصر اهمیتی برابر داشته باشند آنگاه Wi=1m(i=1,2,…,m) ، که در این صورت (11) و (12) به ترتیب به (4) و (9) تبدیل میشوند.
قابل به ذکر است که تا کنون تمام اندازههای فاصله ذکر شده بر روی مجموعه مرجع گسسته تعریف شدند. اگر مجموعه مرجع و وزن هر عنصر را پیوسته در نظر بگیریم آنگاه اندازههای فاصله از نوع پیوسته را بدست خواهیم آورد.
فرض کنید مجموعه مرجع X=a,b و Wx∈∘,1 وزن عناصر باشند به طوری که abWxdx=1. آنگاه به ترتیب، اندازه فاصله اقلیدسی وزن دار مردد پیوسته نوع2 و فاصله وزندار مردد پیوسته تعمیم یافته نوع2 عبارتند از:
(13) d13A,B=abWx1nxj=1nxμAσjx-μBσjx212dx ,(14) d14A,B=abWx1nxj=1nxμAσjx-μBσjxp1pdx , p>∘.اگر برای هر x∈a,b، فرض کنیمWx=1(b-a) ، آنگاه فاصله اقلیدسی وزن دار مردد پیوسته نوع2 به فاصله اقلیدسی نرمال شده مردد پیوسته نوع2 تبدیل میشود که به صورت زیر است
(15) d15A,B=1(b-a)ab1nxj=1nxμAσjx-μBσjx212dx, و فاصله وزن دار مردد پیوسته تعمیم یافته نوع2 به فاصله نرمال شده مردد پیوسته تعمیم یافته نوع2 تبدیل میشود
(16) d16A,B=1(b-a)ab1nxj=1nxμAσjx-μBσjxp1pdx , p>∘.با توجه به متر lp ، فاصله lp وزن دار مردد پیوسته را به صورت زیرتعریف میکنیم:
(17) . d17A,B=abWx1nxj=1nxμAσjx-μBσjxp1pdx , p≥1اگر برای هر x∈a,b، Wx=1(b-a) آنگاه فاصله lP وزن دار مردد پیوسته تبدیل به فاصله lP میانگین مردد پیوسته میشود
(18) . d18A,B=1b-aab1nxj=1nxμAσjx-μBσjxp1pdx , p≥1در ادامه به بررسی اندازههای فاصله مرددی خواهیم پرداخت که در تعریف آنها تابع نمایی نقش بازی میکند.
تابع نمایی را به صورت y=ex یا y=exp(x) در نظر میگیریم که e همان عدد نپر است و همچنین میدانیم که تابع نمایی تابعی یکنوا است. فرض کنید A و B دو مجموعه فازی مردد رویباشند X که X=x1,x2,…,xm میباشد. اگر مفهوم تابع نمایی را در اندازه فاصله در مجموعههای فازی مردد بکار ببریم، آنگاه اندازه فاصله مردد نوع نمایی به صورت زیر بدست میآید:
(19) . d19A,B=1-exp(-dA,B)1-exp(-dmax)برای اثبات اینکه (19) یک اندازه فاصله است نیاز به لم زیر داریم.
لم2.2.1.2. فرض کنید fx=1-exp(-x)1-exp(-m) و x∈∘,m، آنگاه fminx=f∘=∘ و fmaxx=fm=1 است.
اثبات: برای x∈∘,m ، f'x=exp(-x)1-exp(-m)>∘ نتیجه میدهد که fx در ∘,m صعودی است و لذا fminx=f∘=∘ و fmaxx=fm=1 است. □
قضیه 2.2.1.4. فرض کنید dA,Bیک اندازه فاصله بین مجموعههای فازی مرددA و Bباشد و به ازای تمام زوجهایA,B از مجموعههای فازی مردد روی X تعریف کنیم dmax=maxd(A,B). آنگاه d19A,B تعریف شده در رابطه (19)، یک اندازه فاصله نرمال شده بین مجموعههای فازی مردد A و B است.
اثبات: نشان دادن اینکه d19A,B ویژگیهای (D1')-(D3) را برقرار میسازد امری ساده است. در اینجا فقط برقراری (D4) را اثبات میکنیم. چون dA,Bیک اندازه فاصله بین مجموعههای فازی مردد Aو B است، اگرA⊑B⊑C آنگاه داریم d A,B≤dA, C و dB, C≤ dA, C. با توجه به لم2.2.1.2 برای A⊑B⊑C داریم، d19 A,B≤d19A, C و d19B, C≤ d19A, C که این خاصیت همان ویژگی (D4) برای اندازه فاصله d19A,B میباشد. □
دو مفهوم اندازه شباهت و اندازه فاصله از جمله مفاهیمی هستند که در ارتباط تنگاتنگی با یکدیگر قرار دارند. از این رو در بعضی از مباحث از اندازه فاصله برای تعریف اندازه شباهت استفاده میکنند.
قضیه 2.2.1.5. فرض کنید A وB دو مجموعه فازی مردد باشند و f یک تابع حقیقی، نزولی یکنوا، d یک اندازه فاصله برای مجموعههای فازی مردد وdmax ماکزیمم مقدار فاصله d روی مجموعه فازی مردد باشد. اگر تعریف کنیم:
(20) S∘A,B=fdA,B-f(dmax)f∘-f(dmax) .آنگاه S∘A,B یک اندازه شباهت بین دو مجموعهی فازی مردد A و B است.
اثبات: چون f یک تابع نزولی یکنوا است و ∘ ≤dA,B≤dmax در نتیجه f(dmax)≤fdA,B≤f∘آنگاه داریم
∘ ≤fdA,B-fdmaxf∘-fdmax ≤1 ,
که این خاصیت همان ویژگی (S1) در یادآوری 2.1.2 است.
(S2) A=B⟺ dA,B=∘ ⟺S∘A,B=1 .
(S3) dA,B=dB,A ⇒ S∘A,B=S∘B,A.
بررسیS4. فرض کنید C یک مجموعه فازی مردد باشد. اگر A⊑B⊑Cآنگاه fdA,C≤fdA,B وfdA,C≤ fdB,C که نتیجه میشودS∘A,C≤S∘A,B و.S∘A,C≤S∘B,C . □
طبق قضیه 2.2.1.5 اگر قرار دهیم f (x)= 1-x (یا انتخابهای دیگری همچون e-x و fx= یا fx=11+x )، در آن صورت fx در شرایط قضیه صدق میکند و بنابراین فرمول زیر برای اندازهی شباهت بین A و B بدست میآید:
S∘A,B=1-dA,Bdmax.
حال اگر فاصله d در تعریف S∘A,B بالا را اندازههای فاصله (3) ، (4) و (8) در نظر بگیریم، آنگاه اندازههای شباهت بین دو مجموعه فازی مردد A و B به ترتیب به صورت زیر بدست میآیند :
(21) S1A,B=1-1mi=1m(1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p,(22) S2A,B=1-1mi=1m 1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip1p,(23) S3A,B=1-i=1m(j=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p .
که p> ∘ است.
و اگر برای هر عنصر xi∈X وزنی معادل Wi در نظر بگیریم آنگاه اندازه شباهت وزن دار متناظر با اندازههای شباهت فوق به صورت زیر بدست میآیند:
(24) S4A,B=1-i=1mWi(1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p,(25) S5A,B=1-i=1m Wi1nxij=1nxiμAσjxi-μBσjxip1p,(26) S6A,B=1-mi=1mWi(j=1nxiμAσjxi-μBσjxip)1p.
که p> ∘ ، Wi∈∘,1 و i=1mWi=1 میباشد.
اگر عناصر، اهمیت یکسانی داشته باشند یعنی Wi=1m(i=1,2,…,m) آنگاه به ترتیب (24)، (25) و (26) به ترتیب به (21)، (22) و (23) تبدیل میشوند.
فرض کنید مجموعه مرجع X=a,b پیوسته و وزن هر عنصر x∈Xبهصورت W(x) باشد طوریکه W(x)∈∘,1 و abWxdx=1. آنگاه متناظر با اندازههای شباهت (24) و (25) اندازههای شباهت پیوسته زیر تعریف میگردند:
(27) S7A,B=1-abW(x)(1nxj=1nxμAσjx-μBσjxp)1pdx ,(28) S8A,B=1-abW(x)(j=1nxμAσjx-μBσjxp)1pdx .
که p> ∘ است.
اگر برای همه x∈a,b ، Wx=1b-aباشد آنگاه (27) و (28) به ترتیب به صورت (29) و (30) ظاهر میگردند:
(29) S9A,B=1-1b-aab(1nxj=1nxμAσjx-μBσjxp)1p dx .
(30) S10A,B=1-1b-aab(j=1nxμAσjx-μBσjxp)1pdx .
که p> ∘ است.
2.2.2. اندازه شباهت مبتنی بر روش نظریه مجموعهای
اندازه شباهت مبتنی بر روش نظریه مجموعهای بین دو مجموعه فازی مردد A وB را به صورت زیر تعریف میکنیم:
(31) . =1mi=1mj=1nximinμAσjxi,μBσjxij=1nximaxμAσjxi,μBσjxi S11A,Bقضیه 2.2.2.1. S11A,B یک اندازه شباهت بین دو مجموعه فازی مردد A وB است.
اثبات: نشان دادن اینکه S11A,B ویژگی های (S1)-(S3) بیان شده در یادآوری2.12. را برقرار میسازد، امری بسیار ساده است. در اینجا فقط(S4) را اثبات میکنیم. اگر A⊑B⊑C آنگاه برای هر xi∈X، μA(xi)≼μB(xi)≼μC(xi). درنتیجه برای هرxi∈X و ، j=1,2,…,nxi μCσjxi .∘<μAσjxi≤μBσjxi≤ بنابراین
j=1nximinμAσjxi,μCσjxij=1nximaxμAσjxi,μCσjxi=j=1nxiμAσjxij=1nxiμCσjxi
≤ j=1nxiμAσjxij=1nxiμBσjxi=j=1nximinμAσjxi,μBσjxij=1nximaxμAσjxi,μBσjxi.
از روابط فوق چنین برمیآید که
1mi=1mj=1nximinμAσjxi,μCσjxij=1nximaxμAσjxi,μCσjxi
≤1mi=1mj=1nximinμAσjxi,μBσjxij=1nximaxμAσjxi,μBσjxi .
در نتیجه S11A,C≤S11A,B و بطور مشابه S11A,C≤S11B,C قابل اثبات است. □
اگر برای هر عنصرxi∈X وزنی معادل Wi در نظر بگیریم آنگاه داریم:
(32) . S12A,B=i=1mWij=1nximinμAσjxi,μBσjxij=1nximaxμAσjxi,μBσjxi که i=1,2,…,m Wi∈∘,1 ، i=1mWi=1 . در فرمول بالا اگر Wi=1m اختیار نماییم آنگاه (32) به (31) تبدیل میشود.
فرض کنید در مرجع پیوسته، هر عنصرx∈X=a,b دارای وزن Wx∈∘,1 باشد و abWxdx=1. آنگاه اندازه شباهت پیوسته متناظر با فرمول (32) عبارت است از:
(33) dx. S13A,B=abW(x)j=1nxminμAσjx,μBσjxj=1nxmaxμAσjx,μBσjxاگر برای هر x∈X=a,b ، Wx=1b-aباشد آنگاه (33) به (34) تبدیل میشود:
(34) dx. S14A,B=1b-aabj=1nxminμAσjx,μBσjxj=1nxmaxμAσjx,μBσjx
.23. کاربرد اندازههای شباهت بین مجموعههای فازی مردد در یک تصمیم گیری چند صفتی
در این قسمت میخواهیم اندازههای شباهت مطرح شده در بخش قبل را در یک روند تصمیمگیری چند صفتی در محیط فازی مردد بکار بگیریم.
فرض کنید در یک مسأله تصمیمگیری چند صفتی H=H1,H2,…,Hp مجموعهای از پیشنهادها، X=x1,x2,…,xm مجموعهای از صفات و W=W1,W2,…,WmT بردار وزن صفات که Wi∈∘,1 و i=1mWi=1 باشد.
حال مفاهیم ایدآل مثبت مجموعه فازی مردد و ایدآل منفی مجموعه فازی مردد را تعریف میکنیم که به ترتیب عبارتند از:
(35) H+ =xi,μH+(xi)∣xi∈X ,
(36) H- =xi,μH-(xi)∣xi∈X.
که
, μH+xi=μH+σkxi∣μH+σkxi=max1≤j≤p μHjσkxi ,k=1,2,…,nxi و
μH-xi=μH-σkxi∣μH-σkxi=min1≤j≤p μHjσkxi ,k=1,2,…,nxi .
براساس فرمولهای اندازه شباهت در مجموعههای فازی مردد که در قسمت قبل ذکر شد، میتوانیم درجه شباهت بین ایدآل مثبت مجموعه فازی مردد H+ و پیشنهاد Hi که به صورت SH+,Hi نمایش میدهیم و درجه شباهت بین ایدآل منفی مجموعه فازی مرددH- و پیشنهاد Hi که به صورت SH-,Hi نمایش میدهیم را محاسبه کنیم.
5191760521335(37)
00(37)
حال، اندازه شباهت نسبی S+Hi متناظر با پیشنهاد Hi به صورت زیر تعریف میگردد:
S+Hi=SH+,HiSH+,Hi+SH-,Hi , i=1,2,…,p.واضح است که هرچه S+Hi بزرگتر باشد، پیشنهاد Hi بهتر است. زیرا فرمول فوق موید درجه نزدیکی شباهت Hi بهH+ است، به طوری که هر چه SH+,Hi به سمت یک نزدیکتر گردد یعنی Hi دارای شباهت بیشتری باH+ باشد، به همین میزان SH-,Hi به سمت صفر نزدیک میگردد یعنی Hi دارای شباهت کمتری با H- است. در این حالت به وضوح S+Hi به سمت یک نزدیکتر میگردد.
الگوریتم2 .1.3.(الگوریتم انتخاب بهینه در مجموعههای فازی مردد)
گام اول: مجموعهای از پیشنهادهای Hi، که هر یک را میتوان به صورت یک مجموعه فازی مردد تعریف شده روی مجموعه مرجع X=x1,x2,…,xm نمایش داد، اختیار میکنیم. بردار وزن W=W1,W2,…,WmT متناظر با عناصر مجموعهها را در نظر میگیریم. برای راحتی در نمایش پیشنهادها، برای آنها یک ماتریس تصمیمگیری فازی مردد تشکیل میدهیم.
گام دوم: با استفاده از فرمولهای (35) و (36) به ترتیب ایدآل مثبت مجموعههای فازی مردد و ایدآل منفی مجموعههای فازی مردد را محاسبه میکنیم. سپس با استفاده از فرمولهای اندازه شباهت si.,.i=4,5,6,11، اندازه شباهت بین هر پیشنهاد Hi و ایدآل مثبت Hi+ و اندازه شباهت بین هر پیشنهاد Hi و ایدآل منفیHi- را محاسبه میکنیم.
گام سوم: با توجه به فرمول (37) اندازه شباهت نسبی S+Hi متناظر با پیشنهاد Hi را محاسبه کرده و با توجه به ترتیبی که برای si ها بدست میآید پیشنهادهای متناظر آنها را نیز به همان صورت مرتب میکنیم. هرچه S+Hi بزرگتر باشد پیشنهاد متناظر با آن بهتر است.
مثال2 1.3.با پیشرفت اقتصادی جوامع، انرژی یک عامل اساسی و مهم میباشد. بنابراین استفاده صحیح از انرژی و بهینه کردن مصرف آن نتایج بسیار مفیدی در پیشرفت اقتصادی جوامع دارد.
حال فرض میکنیم پنج پروژه در این خصوص پیشنهاد شده است که آنها را با Hii=1,2,…,5 مشخص میکنیم. انجام این پروژهها میبایست از نظر ویژگیهایی همچون x1 (تکنولوژی)، x2 (سازگاری با محیط)، x3 (سیاست اجتماعی) و x4 (اقتصادی)، مورد ارزیابی و بررسی قرار گیرند. بردار وزنی که برای این چهار صفت در نظر گرفته شده به این ترتیب می باشدW=0/15, 0/3, 0/2, 0/35T.
از چندین کارشناس دعوت به عمل آمده است تا نظرات و ارزیابیهای خود را در خصوص این پنج پروژه با توجه به ویژگیهایی که مطرح شد، بیان کنند. نظر همه تصمیم گیرندگان در خصوص هر یک از پنج پیشنهاد با توجه به هر صفت تهیه میشود. باید توجه داشت که تعدادی از این نظرات ممکن است تکراری باشند، پس فقط یک بار نمایش داده میشوند. واضح است که در این حالت، ارزیابیهای ممکن کارشناسان برای هر یک از پیشنهادها متناظر با چهار صفت مطرح شده در بالا را باید به عنوان یک مجموعه فازی مردد در نظر گرفت.
برای راحتی در نمایش، از یک ماتریس تصمیم گیری فازی مردد برای بیان نتایج ارزیابی تصمیم گیرندگان استفاده میکنیم که در جدول2 1.3.آورده شده است.
جدول 2 1.3.: ماتریس تصمیمگیری فازی مردد مثال2 1.3.
x4x3x2x10/9, 0/6, 0/5,0/30/5, 0/4,0/20/9,0/8, 0/7, 0/10/5, 0/4, 0/3H10/7, 0/3, 0/40/8, 0/6, 0/5, 0/10/9, 0/7, 0/6, 0/5, 0/20/5, 0/3H20/6, 0/40/7, 0/5, 0/30/9, 0/60/7,0/6H30/9, 0/8, 0/60/8, 0/10/7, 0/4, 0/20/8, 0/7, 0/4, 0/3H40/9,0/7, 0/6, 0/30/9, 0/8, 0/70/8, 0/7, 0/6, 0/40/9, 0/7, 0/6, 0/3, 0/1H5اگر از فرمولهای اندازه شباهت si.,.i=4,5,6,11 برای محاسبه اندازه شباهت بین هر پیشنهاد Hi و پیشنهاد ایدآل مثبت Hi+ Hi-منفی ایدآل یا استفاده کنیم آنگاه ترتیبی برای پیشنهادها با توجه به فرمول (37) بدست می آید. نتایج بدست آمده را در جداول2 2.3. تا 2 5.3. به ترتیب بیان میکنیم.
با توجه به جداول2 2.3.تا 2 5.3.در مییابیم چنانچه هریک از فرمولهای اندازه شباهت si.,.i=4,5,6,11 مورد استفاده قرار گیرند، آنگاه H5و H3از دیگر پیشنهادها بزرگتر میباشند. در جداول2 2.3.تا 2 4.3.به جز جدول2 3.3.ترتیب های متفاوتی برای پیشنهادها به جز H5و H3با توجه به مقادیر متفاوت از پارامتر p بدست میآید. اندازههای شباهت پیشنهاد شده را میتوان در اختیار تصمیم گیرندگان قرار داد تا با توجه به تغییر پارامترp و شرایط مساله در موقعیت های واقعی، اندازههای شباهت را در تصمیمگیریهای خود به کار ببرند.
جدول 2 2.3.: نتایج بدست آمده از اندازه شباهت s4.,.ترتیب ها H5H4H3H2H1-12449857775پارامتر

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *