user8294

فهرست منابع..................................................................................................................................100
پیوست الف.....................................................................................................................................104
چکیده به زبان انگلیسی................................................................................................................133
فهرست تصاویر
عنوان
شکل(1-1): (الف) مجموعه محدب- (ب) مجموعه غیرمحدب..............................................................17
شکل (2-1): غیرخطی بودن کلی قطعه ای...............................................................................................27
شکل (2-2): غیرخطی بودن محلی قطعه ای............................................................................................28
شکل (2-3): توابع عضویت و ..........................................................................31
شکل (2-4): توابع عضویت و .........................................................................31
شکل(4-1): دنبال نمودن خروجی مرجع توسط کنترل کننده طراحی شده برای مثال 4-1........64
شکل (4-2): تغییرات سیگنال کنترلی ورودی مثال 4-1 در گذر زمان..............................................65
شکل(4-3): تغییرات ضریب تضعیف تعیین شده برای مثال 4-1 در گذر زمان................................66
شکل(5-1): دنبال نمودن خروجی مرجع توسط کنترل کننده طراحی شده برای مثال 5-1........77
شکل (5-2): تغییرات سیگنال کنترلی ورودی مثال 5-1 در گذر زمان..............................................78
شکل(5-3): تغییرات ضریب تضعیف تعیین شده برای مثال 5-1 در گذر زمان................................79
شکل(6-1): دنبال نمودن خروجی مرجع توسط کنترل کننده طراحی شده برای مثال 6-1........96
شکل (6-2): تغییرات سیگنال کنترلی ورودی مثال 6-1 در گذر زمان..............................................97
شکل(6-3): تغییرات ضریب تضعیف تعیین شده برای مثال 6-1 در گذر زمان................................98
مقدمه
مسئله پایدار سازی و کنترل سیستمهای غیر خطی از مسائل مهم در تئوری کنترل می باشند. یک گام اساسی و مهم در این زمینه تحقیقاتی، مدلسازی سیستم غیر خطی با استفاده از تکنیک مدل سازی فازی تاکاگی – سوگنو T - Sمی باشد. به کمک این مدلسازی، سیستم غیر خطی اولیه، با ترکیب مجموعه ای از زیر سیستمهای خطی تقریب زده می شود. هر زیر سیستم خطی با یک بیان قاعده اگر – آنگاه (IF-Then Rule) توصیف می شود. در گام دوم که طراحی کنترل کننده دلخواه می باشد، برای هر زیر سیستم خطی یک کنترل کننده خاص با در نظر گرفتن کلیه زیرسیستم های خطی طراحی می شود. گام نهایی ترکیب فازی مناسب همه کنترل کننده های خطی طراحی شده برای ساخت کنترل کننده نهایی خواهد بود. به این روش طراحی کنترل کننده، جبرانسازی توزیع شده موازی (Parallel Distributed Compensation) گفته می شود.
نه فقط پایدار سازی یک سیستم غیر خطی، بلکه کنترل مناسب آن سیستم هم مد نظر می باشد. در این رساله ، تمرکز ما بر مسئله تعقیب خواهد بود. این مسئله پیشینه ای 12 ساله در تئوری کنترل فازی دارد و با انتشار منابع علمی مقاله-منابع تحقیقمنتشر شده درمنبع ]1[ آغاز شده است. در طی سالهای بعد از انتشار این منابع علمی مقاله-منابع تحقیق، روشها و کاربردهای دیگری نیزبه این زمینه تحقیقاتی افزوده شده اند. از جمله می توان به منابع دیگر ] 9[-] 2[ رجوع داد. نکته قابل توجه در تمامی این طراحی های کنترل کننده فازی تعقیب با استفاده از ساختار مشاهده گر حالت کنترل مدرن برای پی ریزی ساختار کنترل کننده است. این ساختار چند ویژگی دارد، بطور ساده ای بیان می شود ولی طراحیهای بهره مشاهده گر و بهره کنترل کننده در آن بسیار پیچیده است؛ زیرا این بهره ها باید از روی اطلاعات تمامی زیر سیستمهای خطی در مدل تاکاگی – سوگنو محاسبه شوند. نکته قابل تامل دیگر در این ساختار، هم درجه بودن کنترل کننده و سیستم تحت کنترل است.
در این رساله، هدف ما طراحی کنترل کننده فازی استاتیکی خروجی برای نیل به حل مسئله تعقیب برای سیستمهای غیر خطی می باشد. کنترل کننده استاتیکی خروجی از تنها یک یا چند بهره تشکیل شده است که سیگنال کنترلی متناسب با مقدار لحظه ای خروجی و مقدار لحظه ای سیگنال مبنا تولید می کند. این کنترل کننده در قیاس با کنترل کننده دینامیکی خروجی بسیار ساده طراحی می شود و بسیار ساده نیز بطور عملی بکار گرفته می شود و کنترل کننده از مرتبه یک بوده و هم درجه با سیستم تحت کنترل نمی باشد. دلیل اصلی ما در انتخاب این تحقیق، همین مزایای کنترل کننده استاتیکی خروجی می باشد. لازم به ذکر است که تا زمان تهیه این رساله، در این زمینه کار اساسی انجام نگرفته و منابع علمی مقاله-منابع تحقیقای منتشر نشده است.
همانطور که بیان گردید هدف از این رساله، بررسی مسئله طراحی کنترل کننده فازی استاتیکی خروجی برای رسیدن به خطای کم درتعقیب یک سیگنال مبنا در مسئله تعقیب می باشد. در این رساله، پس از طی مراحل اولیه، هدف ما توسعه روش ابداعی به سیستمهایی است که در ساختار معادلات آنها اجزائ تأخیر دار وجود داشته باشند. تاخیر در بسیاری از سیستمهای فیزیکی وجود دارد. اضافه شدن اجزای تأخیر دار به هر سیستم دینامیکی منجر به ناپایداری سیستم حلقه بسته و یا عملکرد ضعیف کنترلی آن می شود. هدف نهایی ما در این تحقیق ، حل مسئله کنترل فازی در تعقیب در مورد سیستمهای دارای تاخیر می باشد
قدم بعدی در این رساله، تعمیم این مسئله کنترلی به سیستمهایی است که دارای نامعینی می باشند. در واقع، هدف اصلی ، طراحی کنترل کننده فازی استاتیکی خروجی مقاوم می باشد. علت اصلی درانتخاب این هدف، لزوم مقاوم طراحی کردن کنترل کننده مقاوم است. در هر مسئله کنترلی که در آن یک سیستم غیر خطی با مدلسازی تاکاگی – سوگنو به مجموعه ای از زیر سیستمهای خطی بیان می شود، تقریبهای زیادی وارد می شود. اگر در طراحی کنترل کننده، این تقریبها مد نظر قرار نگیرند، احتمال ناپایداری سیستم حلقه بسته بوجود می آید. برای اجتناب از این نقص، بایستی کنترل کننده مقاوم طراحی شود. این کار مستلزم در نظر گرفتن اجزای نامعین در مدل فازی تاکاگی – سوگنو از سیستم غیر خطی است. حال با در نظر گرفتن این اجزا، باید جبران کننده نهایی طراحی شود.
ابزاری که ما در بیان مسئله تعقیب و مسئله کنترل فازی تعقیب در طراحی کنترل کننده بکار خواهیم گرفت ، نامعادلات خطی ماتریسی هستند. در 18 سال گذشته ، مقالات بسیار زیادی در زمینه های مختلف کنترلی منتشر شده اند که در آنها بیان مسئله و طراحی کنترل کننده بر مبنای تئوری نامعادلات خطی ماتریسی بوده است. ما نیز در این تحقیق از این تئوری برای رسیدن به طراحی نهایی استفاده خواهیم نمود،] 10[.
آشنایی با نامعادلات ماتریسی خطی و جعبه ابزار مربوطه در نرم افزار MATLAB
نامعادلات ماتریسی خطی
یک نامعادله ماتریسی خطی (LMI) در حالت کلی به فرم زیر میباشد:

که در آن یک تابع خوش ریخت از بردار حقیقی بوده ، ، تا ماتریس های متقارن مشخص هستند و یک بردار از متغیر های تصمیم گیری میباشد. نماد عدم تساوی در رابطه فوق به این معناست که معین مثبت میباشد، یعنی برای تمامی غیرصفر یا میتوان گفت به این معناست که بزرگترین مقدار ویژه دارای قسمت حقیقی مثبت میباشد.
LMI های چندگانه را میتوان بصورت یک LMI بصورت در نظر گرفت. لذا ما هیچ تفاوتی بین یک مجموعه از LMI ها و یک LMI واحد قائل نمیشویم.
در بسیاری از موارد LMI ها به فرم کانونی (1-1) ظاهر نمیشوند بلکه به فرم

به نمایش درمی آیند که در آن و توابعی خوش ریخت از برخی متغیر های ماتریسی میباشند.
همچنین برخی افراد ساختار زیر را ترجیح میدهند:

خواص نامعادلات ماتریسی خطی
مجموعه جواب های امکان پذیر (1-1) یعنی یک مجموعه محدب میباشد. این یک ویژگی مهم میباشد چراکه تکنیک های حل عددی قدرتمندی برای مسائل دارای مجموعه جواب های محدب وجود دارد.
تحدب: یک مجموعه محدب است اگر و. به عبارت دیگر مجموعه ای محدب است که پاره خط بین هر دو نقطه که در این مجموعه قرار دارند نیز در مجموعه قرار داشته باشد. شکل (1-1) دو مجموعه محدب و غیرمحدب را نشان میدهد. خاصیت تحدب یک نتیجه بسیار مهم دارد و آن اینکه اگر چه معادله (1-1) در حالت کلی دارای راه حل جبری نمیباشد ولی میتوان آنرا با روش های حل عددی حل نمود، با این تضمین که در صورت وجود جواب آنرا پیدا خواهد کرد.

(الف)
(ب)

شکل(1-1): (الف) مجموعه محدب- (ب) مجموعه غیرمحدب
LMI (1-1) یک نامعادله اکید است و فرم غیراکید آن بصورت زیر میباشد:

خاصیت تقارن: LMI ها متقارن میباشند. این خاصیت باعث سادگی تعریف آنها میشود چراکه نیازی به مشخص نمودن تمامی عناصر LMI نیست و تنها مشخص کردن عناصر روی قطر اصلی و بالا یا پایین آن کفایت میکند.
نامعادلات غیرخطی را میتوان با استفاده از متمم Schur به فرم LMI تبدیل نمود. ایده اصلی به این ترتیب است:
LMI زیر را در نظر بگیرید:

که در آن ، و بطور خطی به وابسته میباشد.
LMI فوق معادل نامعادلات زیر میباشد

به بیان دیگر مجموعه نامعادلات غیرخطی(1-6) را میتوان بصورت LMI (1-5) نشان داد.
ماتریس ها بعنوان متغیر
ما اغلب با مسائلی مواجه میشویم که در آنها متغیر ها دارای ساختار ماتریسی میباشند، برای مثال نامعادله لیاپانوف

که در آن ماتریسی معین بوده و متغیر میباشد.در این مورد ما صریحاً LMI را به فرم نخواهیم نوشت اما در عوض مشخص خواهیم کرد کدام ماتریس ها متغیر میباشند. اما با این حال میتوان به سادگی نامعادله لیاپانوف را به فرم (1-1) تبدیل کرد.
جعبه ابزار LMI در نرم افزار MATLAB
جعبه ابزار LMI در نرم افزار MATLAB مجموعه ای از توابع مفید برای حل مسائل مربوط به LMI ها را در اختیار کاربر میگذارد.
بطور کلی یک مسئله شامل LMI ها در نرم افزار MATLAB در دو مرحله حل میگردد. ابتدا اقدام به تعریف LMI های موجود در مسئله میکنیم. این مرحله شامل تعیین متغیر های تصمیم گیری در LMI ها و تعریف LMI ها براساس این متغیر ها میباشد. همانطور که در بخش گذشته بحث گردید نمایش های مختلفی برای یک LMI وجود دارد. MATLAB به سادگی از فرم ماتریسی متغیر های تصمیم گیری که در (1-2) داده شده است به جای فرم برداری که در (1-1) داده شده، استفاده میکند. در مرحله دوم مسئله با استفاده از حل کننده های موجود بطور عددی حل میگردد. چنانچه مسئله شامل کمینه سازی یک تابع با متغیر های تصمیم گیری برداری شکل میباشد بایستی اقدام به تبدیل فرم ماتریسی متغیر های تصمیم گیری به فرم برداری با استفاده از توابع لازم نماییم.
تعیین یک سیستم از LMI ها
توصیف یک LMI به سادگی توسط دستور زیر آغاز میشود:
setlmis([]);
همانطور که مشاهده میکنید برای این تابع هیچ پارامتری تعیین نمیگردد.
پس از آن اقدام به تعریف متغیر ها تصمیم گیری با استفاده از دستور lmivar مینماییم.
برای مثال نامعادله ماتریسی خطی را در نظر بگیرید.در اینجا یک ماتریس ثابت و ماتریس متغیر های تصمیم گیری میباشد. تابع lmivar این اجازه را به ما میدهد که چندین فرم مختلف از ماتریس تصمیم را تعریف نماییم. به عنوان مثال فرض میکنیم که یک ماتریس متقارن با ساختار قطری بصورت زیر باشد:

در این مورد دارای بلوک قطری میباشد. اگر در این مثال را برابر 4 در نظر بگیریم و ابعاد ماتریس های به ترتیب برابر 1،3،5و2 و همگی غیرصفر باشند، با استفاده از ستورات زیر تعریف میشود:
structureX=[5,1;3,1;1,0,2,1]
X=lmivar(1,structureX);
در دستورات فوق تعداد سطر های structureX بیانگر آنست که دارای 4 بلوک میباشد. اولین المان از سطر ابعاد بلوک موجود در را مشخص میکند. دومین المان از بلوک نوع بلوک را تعیین مینماید: 1 برای بلوک کامل، 0 برای اسکالر و -1 برای بلوک صفر. عدد 1 در دستور lmivar این موضوع را بیان میکند که یک ماتریس متقارن با ساختار قطری میباشد.
حال چنانچه ساختار متغیر مورد نظر مربعی نباشد و به عنوان مثال ساختاری مستطیلی شکل با 3 سطر و 5 سطون داشته باشد دستور مربوطه به شکل زیر خواهد بود:
lmivar=(2,[3 5])


در گام بعد باید LMI ها را بصورت تک تک تعریف نماییم. برای مثال اگر LMI بخش قبل یعنی را در نظر بگیریم این LMI با دستورات زیر تعریف میگردد:
typeLMI1=[1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI1,C,C');
همانطور که مشاهده میشود در ساده ترین حالت lmiterm سه آرگومان میپذیرد. اولین آرگومان یک بردار میباشد. اولین ستون این بردار شماره LMI مورد تعریف را مشخص میکند که در این مورد LMI شماره 1 در حال تعریف میباشد. ستون دوم و سوم این بردار موقعیت ترم مورد تعریف در LMI را مشخص میکنند و ستون چهارم شماره متغیر تصمیم گیری موجود در ترم مورد نظر را مشخص میکند. آرگومان های دوم و سوم این دستور ضرایب سمت چپ و راست ماتریس تصمیم گیری میباشند. چنانچه بخواهیم نامعادله ماتریسی خطی را تعریف نماییم دستورات بصورت زیر خواهند بود
typeLMI1=[-1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI1,C,C');
بعنوان یک مثال پیچیده تر به منظور آشنایی بیشتر با دستورات دو LMI زیر را در نظر میگیریم:

که در آنها و ماتریس های تصمیم گیری میباشند. ساختار را مانند قبل در نظر گرفته و را یک ماتریس کامل متقارن با بعد 4 در نظر میگیریم. مجموعه دستورات زیر این دو LMI را تعریف میکنند:
structureX = [5,1;3,1;1,0;2,1];
X = lmivar(1,structureX);
structureS = [4,1]
S = lmivar(1,structureS);
lmiterm([1 1 1 1],A,A'); % term AXA'
lmiterm([1 1 1 2],B',C); % term B'SC
lmiterm([1 1 2 1],1,D); % term XD
lmiterm([1 2 1 1],D',1); % term D'X
lmiterm([1 2 2 2],1,1); % term S
typeLMI2 = [-1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI2,E,E'); % term EXE'
در این مثال به وضوح مشخص است که ترم های دوم و سوم آرگومان اول lmiterm مکان ترم مورد تعریف را در LMI مشخص میکنند.
گام نهایی استفاده از دستور زیر به منظور ایجاد LMI ها میباشد:
LMIs=getlmis;
اکنون نوبت به حل LMI ها میرسد. بطور کلی سه نوع حل کننده LMI در نرم افزار MATLAB مورد استفاده قرار میگیرند که عبارتند از feasp ، mincx و gevp که اولین مورد یعنی feasp برای حل مسئله امکان پذیری LMI ها بصورت زیر مورد استفاده قرار میگیرد:
[tmin,xfeasp]=feasp(LMIs);
که xfeasp شامل متغیر های تصمیم و tmin متغیری است که باید در بهینه سازی منفی گردد.
اکنون برای مشاهده متغیر ها بایستی آنها را به فرم ماتریسی دربیاوریم که این کار با دستور زیر برای مثال قبل امکان پذیر است:
X=dec2mat(LMIs,xfeasp,X);
S=dec2mat(LMIs,xfeasp,S);
پس از این با اجرای فایل نوشته شده نرم افزار به ما میگوید که آیا نامعادلات ماتریسی خطی نوشته شده به ازای پارامتر های موجود امکان پذیر میباشند یا خیر و ما میتوانیم با مشاهده نتایج خواسته های خود را دنبال نماییم.
2- مدل فازی تاکاگی- سوگنو و جبران سازی موازی توزیع شده
2-1- مقدمه
در سال های اخیر شاهد رشد سریع محبوبیت سیستم های کنترل فازی در کاربرد های مهندسی بوده ایم. کاربرد های موفقیت آمیز و بیشمار کنترل فازی موجب انجام فعالیت های گسترده در زمینه آنالیز و طراحی سیستم های کنترل فازی شده است.
این فصل به معرفی مفاهیم پایه، آنالیز و فرآیند های طراحی مدل فازی تاکاگی- سوگنو و جبران سازی موازی توزیع شده میپردازد. این فصل با معرفی مدل فازی تاکاگی- سوگنو آغاز شده و با روند ایجاد چنین مدل هایی دنبال میشود. سپس یک طراحی کنترل کننده فازی مبتنی بر مدل (model-based) که از مفهوم " جبران سازی موازی توزیع شده" بهره میبرد، تشریح شده است.
مدل فازی تاکاگی- سوگنو
تشریح روند طراحی را با نمایش دادن یک سیستم غیر خطی توسط مدل فازی تاکاگی- سوگینو آغاز میکنیم.
مدل پیشنهاد شده توسط تاکاگی و سوگنو توسط قوانین فازی اگر- آنگاه که رابطه محلی خطی ورودی- خروجی یک سیستم غیر خطی را نشان میدهند، توصیف میشود. مشخصه اصلی یک مدل فازی تاکاگی- سوگنو بیان دینامیک های محلی هر قانون فازی توسط یک مدل خطی سیستم است. مدل فازی کلی سیستم با ترکیب فازی مدل های خطی سیستم حاصل میشود.
i امین قانون از مدل فازی T-S برای سیستم های فازی پیوسته به شکل زیر است:
اگر و ... باشند. آنگاه:(2-1)
و برای سیستم های فازی گسسته به صورت زیر میباشد:
اگر و ... باشند. آنگاه:
(2-2)
که در رابطه فوق مجموعه فازی بوده و تعداد قوانین مدل میباشد. همچنین بردار حالت، بردار ورودی، بردار خروجی، به همراه و ماتریس های فضای حالت سیستم و و... متغیر های مفروض شناخته شده میباشند که این متغیر ها میتوانند تابعی از متغیر های حالت، اغتشاشات خارجی و یا زمان باشند. فرض ما بر این است که متغیر های مفروض تابعی از متغیر های ورودی نمیباشند چرا که در آن صورت فرآیند غیر فازی سازی کنترل کننده فازی بسیار پیچیده خواهد شد.
پس از غیرفازی سازی، سیستم فازی کلی برای سیستم های پیوسته در زمان را میتوان به فرم زیر نوشت:
(2-3)
همچنین برای سیستم های گسسته روابط بصورت زیر خواهند بود:
(2-4)
که پارامتر های موجود در روابط فوق به شرح زیر میباشند:

ساخت مدل فازی
بطور کلی دو روش برای ساخت مدل فازی وجود دارد که عبارتند از:
تعیین مدل با استفاده از داده های ورودی- خروجی
استخراج مدل از معادلات داده شده سیستم غیر خطی
فرآیند اول بطور عمده شامل دو بخش است: شناسایی ساختار و شناسایی پارامتر. این روش برای سیستم هایی که نشان دادن آنها توسط مدل های تحلیلی و یا فیزیکی دشوار یا غیرممکن است، مناسب میباشد. از سوی دیگر مدل های دینامیک غیرخطی برای سیستم های مکانیکی میتوانند به عنوان مثال با روش لاگرانژ و نیوتن- اویلر به آسانی به دست آیند. در این بخش تمرکز ما بر روی روش دوم خواهد بود که این روش از مفاهیم غیرخطی بودن قطعه ای و تقریب محلی و یا ترکیب آنها برای ساخت مدل فازی بهره میبرد.
غیرخطی بودن قطعه ای
سیستم ساده را در نظر بگیرید که در آن . هدف یافتن قطعه ای کلی است بطوریکه . شکل (2-1) روش غیرخطی بودن قطعه ای را نشان میدهد.

شکل (2-1): غیرخطی بودن کلی قطعه ای
این روش ساخت یک مدل فازی دقیق را تضمین مینماید. اما به هر حال گاهی یافتن قطعه های کلی برای سیستم های غیرخطی عمومی مشکل میباشد. در این موارد ما غیرخطی بودن محلی قطعه ای را در نظر میگیریم. این روش منطقی به نظر میرسد چراکه متغیر های سیستم های فیزیکی همیشه کراندار میباشند. شکل (2-2) غیرخطی بودن محلی قطعه ای را نشان میدهد که در آن دو خط در بازه قطعه های محلی محسوب میشوند. مدل فازی در ناحیه محلی یعنی بطور دقیق سیستم خطی را نمایش میدهد.

شکل (2-2): غیرخطی بودن محلی قطعه ای
مثال 1-1 گام های مشخص در ساخت مدل های فازی را تشریح مینمایند.
مثال 1-1
سیستم غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:

برای سادگی فرض میکنیم که و . البته بدیهی که میتوانیم هر محدوده ای را برای آن دو برای ساخت مدل فازی متصور شویم.
معادله فوق را میتوان به فرم زیر نوشت:

که در رابطه فوق بوده و و ترم های غیرخطی میباشند. برای ترم های غیرخطی متغیر هایی را بصورت زیر تعریف میکنیم:

پس خواهیم داشت:

اکنون به محاسبه حداقل و حداکثر مقادیر و زمانیکه و باشند، میپردازیم:

با استفاده از مقادیر حداکثر و حداقل میتوان و را به فرم زیر نمایش داد:

که در رابطه فوق داریم:

بنابراین توابع عضویت بصورت زیر محاسبه میگردند:

توابع عضویت را به ترتیب مثبت، منفی، بزرگ و کوچک نام گذاری میکنیم. سپس سیستم غیرخطی با مدل فازی زیر به نمایش در می آید:
قانون شماره 1:
اگر مثبت و بزرگ باشند. آنگاه:

قانون شماره 2:
اگر مثبت و کوچک باشد. آنگاه:

قانون شماره 3:
اگر منفی و بزرگ باشد. آنگاه:

قاون شماره 4:
اگر منفی و کوچک باشد. آنگاه:

که داریم:

شکل های زیر توابع عضویت را نشان میدهند.

شکل (2-3): توابع عضویت و

شکل (2-4): توابع عضویت و
فرآیند غیرفازی سازی بصورت زیر انجام میپذیرد:

که در آن

این مدل فازی بطور دقیق سیستم خطی را در ناحیه بر روی فضای نمایش میدهد.
تقریب محلی در فضاهای تقسیم شده فازی
یک روش دیگر به منظور دست یافتن به مدل های فازی T-S روش تقریب محلی در فضاهای تقسیم شده فازی میباشد. اساس این روش تقریب ترم های غیرخطی توسط ترم های خطی است که خردمندانه انتخاب شده اند. این روش منجر به کاهش تعداد قوانین مدل میشود. تعداد قوانین مدل مستقیما" با پیچیدگی تحلیل و طراحی شرایط LMI متناسب است. اگر چه در این روش تعداد قوانین کاهش می یابد، اما طراحی قوانین کنترل مبتنی بر مدل فازی تقریب زده شده ممکن است پایداری سیستم های غیرخطی اصلی را تحت این قوانین کنترل تضمین نکند.
جبرانسازی توزیع شده موازی
تاریخچه جبرانسازی توزیع شده موازی با یک فرآیند طراحی مبتنی بر مدل ارائه شده توسط کانگ و سوگنو آغاز میشود. اما پایداری سیستم های کنترل در آن فرآیند طراحی مد نظر قرار نگرفته بود. به مرور فرآیند طراحی بهبود یافت و پایداری سیستم های کنترل در ]17[ مورد تحلیل واقع شد و فرآیند طراحی در ]13[ جبرانسازی توزیع شده موازی نام گرفت.
PDC یک فرآیند برای طراحی کنترل کننده فازی از روی مدل فازی T-S داده شده پیشنهاد میکند. برای درک PDC، یک سیستم کنترل شده (سیستم غیرخطی) در ابتدا توسط یک مدل فازی T-S به نمایش در می آید. تأکید میکنیم که بسیاری از سیستم های واقعی، برای مثال سیستم های مکانیکی و سیستم های بی نظم، را میتوان توسط مدل های فازی T-S به نمایش درآورد.
در طراحی PDC هر قانون کنترل از روی قانون متناظر یک مدل فازی T-S طراحی میشود. کنترل کننده فازی طراحی شده مجموعه های فازی یکسانی را با مدل فازی در بخش های مفروض به اشتراک میگذارد.
برای مدل های فازی (2-1) و (2-2) کنترل کننده فازی ساخته شده از طریق PDC بصورت زیر است:
اگر و ... باشند. آنگاه:
(2-5)
قوانین کنترل فازی دارای یک کنترل کننده خطی (در این مورد قوانین فیدبک حالت) در بخش نتیجه میباشند. میتوانیم از دیگر کنترل کننده ها نظیر کنترل کننده های فیدبک خروجی و کنترل کننده های فیدبک خروجی دینامیک به جای کنترل کننده های فیدبک حالت استفاده کنیم.
کنترل کننده فازی کلی را میتوان بصورت زیر به نمایش درآورد:
(2-6)
اکنون چنانچه این کنترل کننده را به خروجی سیستم فازی در حالت گسسته در زمان یعنی
(2-7)
اعمال نماییم، سیستم حلقه بسته بصورت زیر خواهد بود:
(2-8)
اکنون با اعمال قضیه پایداری لیاپانوف به این نتیجه میرسیم که سیستم (2-7) بطور مجانبی پایدار است چنانچه یک ماتریس معین مثبت مشترکی مانند وجود داشته باشد بطوریکه نامعادلات ماتریسی زیر برقرار باشند:
(2-9)
توجه نمایید که میتوانیم سیستم (2-7) را بصورت زیر بنویسیم:
(2-10)
که در آن:

بنابراین میتوان تئوری زیر را جهت بیان شرایط کافی پایداری سیستم (2-7) بیان نمود.
تئوری 2-1
نقطه تعادل سیستم فازی (2-7) بطور مجانبی پایدار است چنانچه ماتریس معین مثبت مشترکی مانند وجود داشته باشد بطوریکه نامعادلات ماتریسی زیر برقرار باشند:
(2-11)
پس طراحی کنترل کننده فازی برابر است با تعیین بهره های فیدبک محلی به گونه ای که شرایط بیان شده در تئوری 2-1 برقرار باشند. بطور کلی، ابتدا بایستی یک کنترل کننده برای هر قانون طراحی نماییم و بررسی نماییم که آیا شرایط پایداری برقرار میباشند یا خیر. چنانچه شرایط برقرار نبود بایستی فرآیند را تکرار نماییم تا شرایط مورد نظر برقرار گردند.
با PDC یک فرآیند ساده برای کار با سیستم های غیرخطی در اختیار داریم. دیگر تکنیک های کنترل غیرخطی نیازمند دانش ویژه و نسبتا" پیچیده میباشند.
3- کنترل کننده های استاتیکی خروجی
3-1- مقدمه
بسیاری از سیستم های فیزیکی دارای حالت های محدودی جهت اندازه گیری و باز خورد نمودن برای سیستم کنترلی میباشند و معمولا" یک بردار حالت کامل جهت اندازه گیری و استفاده در حلقه فیدبک در دسترس نیست بلکه تنها بخشی از آن توسط بردار خروجی پوشش داده میشود. در این حالت دو راهکار برای برخورد با این مشکل وجود دارد. در راهکار اول میتوان یک مشاهده گر کاهش رتبه یافته جهت حصول نیازمندی های فیدبک حالت کامل طراحی نمود که موجب ایجاد دینامیک های اضافی و پیچیده شدن طراحی میگردد. راه دیگر استفاده از فیدبک استاتیک خروجی (SOF) میباشد که به دلیل اینکه به هیچ دینامیک اضافه ای نیاز ندارد و تنها از خروجی های قابل اندازه گیری در طراحی فیدبک آن استفاده میشود، طراحی آن ساده میباشد و از نقطه نظر اجرایی از نظر هزینه به صرفه تر و قابل اطمینان تر از فیدبک دینامیکی میباشد. علاوه بر آن بسیاری از مسائل قابل کاهش به انواع آن میباشند. به بیان ساده، مسأله فیدبک استاتیک خروجی عبارتست از فیدبک استاتیک خروجی که باعث گردد سیستم حلقه بسته برخی ویژگی های مورد نظر را داشته باشد و یا تعیین اینکه چنین فیدبکی وجود ندارد.
مسئله فیدبک استاتیک خروجی نه تنها به خودی خود از اهمیت بالایی برخوردار است بلکه از آنجاییکه بسیاری از مسائل دیگر قابل تقلیل به انواع مختلف آن میباشند، نیز موجب مورد توجه قرار گرفتن آن گردیده است. به عنوان مثال زمانی که به دلیل هزینه و قابلیت اطمینان بایستی یک کنترل کننده ساده مورد استفاده قرار گیرد و یا آنجاییکه در برخی کاربرد ها به دلیل نیاز تنظیماتی خاص در پارامتر هایی مشخص به منظور کنترل یک سیستم فیزیکی طراح نیازمند آنست که تعداد پارامتر ها تا حد امکان کاهش دهد.
اگر چه در دهه های اخیر مسأله کنترل کننده فیدبک خروجی بطور دقیق مورد مطالعه قرار گرفته است اما برخلاف مسأله فیدبک حالت، فیدبک خروجی همچنان به عنوان یکی از مسائل مطرح در مهندسی کنترل شناخته میشود.
3-2- پایدار سازی توسط فیدبک استاتیک خروجی
مسأله پایداری فیدبک استاتیک خروجی جزو مورد علاقه ترین مسائل کنترل است که تا هم اکنون پاسخ کامل و روشنی برای آن در دسترس نیست. در دهه های اخیر روش های گوناگونی جهت اعمال به این مسأله ارائه گردیده است. مسأله کنترلی فیدبک خروجی به هنگام مقایسه با مسائل کنترلی فیدبک حالت دشواری خود را بیشتر به نمایش میگذارد. تفاوت اساسی بین مسائل پایدار سازی فیدبک حالت و خروجی اینست که در حالیکه پایدار سازی بوسیله فیدبک حالت به یک مسأله محدب ختم میشود، فیدبک خروجی موجب تبدیل مسأله به یک مسأله غیرمحدب میگردد و موجب دشواری های محاسباتی میشود. چراکه پاسخ یک مسأله محدب را میتوان توسط جعبه ابزار برخی نرم افزار ها نظیر جعبه ابزار LMI در نرم افزار MATLAB، یافت که نیازمند یک زمان چند جمله ای میباشد و بسیاری از مسائل کنترلی مهم که از فیدبک حالت بهره میبرند را میتوان توسط تکنیک های نامعادله ماتریسی خطی حل نمود. از سوی دیگر یافتن پاسخ یک مسأله غیرمحدب بطور عمومی نیازمند یک زمان غیر چند جمله ای میباشد به این معنا که یک افزایش کوچک در ابعاد به دلیل افزایش بسیار زیاد زمان محاسبات موجب عدم کارآیی الگوریتم میگردد.
در این بخش به بحث در مورد مسئله پایدار سازی یک سیستم حلقه باز ناپایدار توسط فیدبک استاتیک خروجی میپردازیم. در ابتدا برخی شرایط لازم و سپس برخی شرایط کافی برای قابل حل بودن مسئله را ارائه خواهیم نمود. پس از آن برخی روش های مورد استفاده برای یافتن بهره پایدار ساز را مورد بحث قرار میدهیم.
3-2-1- شرایط لازم
در ابتدا به شناسایی مواردی خواهیم پرداخت که فیدبک استاتیک نمیتواند یک سیستم حقله باز ناپایدار را پایدار سازد. به منظور بیان این شرایط تئوری های زیر را مد نظر قرار میدهیم:
تئوری 3-1
یک سیستم خطی با تابع تبدیل توسط یک جبرانساز پایدار پایدار پذیر است، اگر و تنها اگر تعداد قطب های حقیقی بین هر جفت از صفر های حقیقی مسدود کننده در نیم صفحه راست زوج باشد. سیستمی که محدودیت های قطب- صفر را برآورده میکند، برآورده کننده PIP گفته میشود.
تئوری 3-2
یک سیستم خطی با تابع تبدیل توسط یک جبرانساز پایدار که هیچ صفر حقیقی ناپایداری ندارد، پایدار پذیر است اگر و تنها اگر:
برآورده کننده PIP باشد.
تعداد صفر های حقیقی مسدود کننده بین هر دو قطب حقیقی زوج باشد.
در این مورد گفته میشود که ، PIP زوج را برآورده مینماید.
با استفاده از تئوری 3-2 شرط لازم ذیل بدست می آید.
شرط لازم: شرط لازم جهت پایداری پذیری توسط فیدبک استاتیک خروجی آنست که سیستم با تابع تبدیل ، PIP زوج را برآورده سازد.
مثال 3-1
سیستمی که دارای تابع تبدیل زیر است:

برای ، PIP را برآورده نمیکند و بنابراین توسط SOF پایدار نمیگردد. به ازای ، PIP زوج برآورده شده و برای مقادیر به اندازه کافی کوچک یک تحلیل ساده مکان هندسی ریشه ها نشان میدهد که سیستم توسط SOF پایداری پذیر میباشد.
3-2-2- شرایط کافی
با توجه به تحلیل های صورت گرفته در این زمینه مانند مکان هندسی ریشه، میتوان گفت که مینیمم فاز بودن و شرایط درجه نسبی شروط لازم و کافی جهت بطور اکید حقیقی مثبت (SPR) ساختن یک سیستم مربعی (تعداد ورودی ها و خروجی ها برابر باشند) با استفاده از فیدبک استاتیک خروجی میباشند.
3-2-3- روش های طراحی و محدودیت ها
در مورد سیستم های تک ورودی- تک خروجی (SISO)، روش های گرافیکی نظیر مکان هندسی ریشه ها و نایکوئیست جهت پاسخگویی به مسائل وجود و طراحی کنترل کننده های استاتیکی خروجی پایدار ساز استفاده میشوند. علاوه بر آن برخی تست های جبری لازم و کافی برای وجود فیدبک های خروجی پایدار ساز وجود دارند (Ielmke and Anderson,1992; Perez et al.,1993). به هر حال این تست ها نیازمند برخی اقدامات ابتدایی نظیر یافتن ریشه ها و مقادیر ویژه میباشند که موجب میشود دشواری آنها کمتر از روش های گرافیکی نباشد. علاوه بر آن این روش ها به راحتی قابل تعمیم به سیستم های چند ورودی- چند خروجی (MIMO) نمیباشند.
در این بخش به بیان اجمالی برخی نتایج که در حل مسائل مربوط به فیدبک استاتیک خروجی مفید میباشند خواهیم پرداخت و ویژگی های آنها را مورد بررسی قرار میدهیم. ایده کلی آنست که یک فیدبک استاتیک خروجی پایدار ساز بایستی یک عضو از خانواده تمامی جبرانساز های فیدبک خروجی پایدار ساز باشد.
روش مرتبه دوم خطی معکوس
سیستم زیر را در نظر بگیرید:
(3-1)
و در نظر میگیریم. علامت خنجر بیانگر معکوس Moore-Penrose میباشد. آنگاه سیستم توسط فیدبک استاتیک خروجی پایدار پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس های ، و با ابعاد مناسب وجود داشته باشند بطوریکه معادله جبری زیر یک جواب یکتای داشته باشد.
(3-2)
مشکل در این است که در حقیقت نمیتوان به سادگی ماتریس های ، و را انتخاب نمود و همچنین معادله فوق را برای حل نمود.
قابل تعیین بودن کواریانس توسط فیدبک خروجی
ایده اصلی در پشت تئوری کنترل کواریانسی عبارتست از فراهم نمودن یک توصیف از تمامی ماتریس های کواریانس قابل تعیین و پارامتریزه کردن تمامی کنترل کننده هایی که یک کواریانس خاص را تعیین مینمایند (Hotz and Skelton,1987;Yasuda et al.,1993;Skelton and Iwasaki,1993). یک سیستم تصادفی را بصورت زیر در نظر بگیرید:
(3-3)
که در آن اغتشاشی از نویز سفید با میانگین صفر و شدت میباشد، ماتریس کواریانس حالت پایدار بردار حالت بصورت زیر تعریف میگردد:
(3-4)
که در آن بیانگر امید ریاضی میباشد. برای یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی ، به خوبی شناخته شده است که معادله لیاپانوف زیر را حل مینماید:
(3-5)
ماتریس یک کواریانس قابل تعیین نامیده میشود چنانچه بهره کنترل کننده ای مانند وجود داشته باشد که معادله فوق را برآورده نماید. چنانچه پایدار پذیر و کنترل پذیر باشند آنگاه، با استفاده از تئوری پایداری لیاپانوف، معادل پایداری سیستم حلقه بسته میباشد. نتیجه ذیل تمامی کواریانس های قابل تعیین توسط فیدبک استاتیک خروجی را پارامتریزه مینماید (Yasuda et al.,1993).
تئوری 3-3
ماتریس یک کواریانس قابل تعیین توسط فیدبک استاتیک خروجی میباشد اگر و تنها اگر معادلات زیر را برآورده نماید:
(3-6)
(3-7)
(3-8)
که در آن:

یک روش پارامتریزه کردن تمامی بهره های فیدبک استاتیک خروجی که سیستم را پایدار و یک کواریانس قابل تعیین خاص را مشخص مینمایند در ادامه ارائه گردیده است(Yasuda et al.,1993).
تئوری 3-4
اگر یک ماتریس کواریانس قابل تعیین باشد. آنگاه تمامی بهره های فیدبک استاتیک خروجی که را برای سیستم حلقه بسته تعیین میکنند بصورت زیر پارامتریزه میگردند:
(3-9)
که در آن:

و یک ماتریس دلخواه و یک ماتریس دلخواه پادمتقارن است.
شرایط (3-6) تا (3-9) را میتوان بصورت پارامتریزه نمودن فضای حالت تمامی بهره های فیدبک استاتیک خروجی پایدار ساز بر حسب ماتریس کواریانس حالت دانست. دشواری عمده در تئوری کنترل کواریانسی رسیدن به این مهم است که آیا برای معادلات (3-8)- (3-6) یک پاسخ مشترک وجود دارد و اگر وجود دارد چگونه میتوان آنرا یافت. زمانی که یک پاسخ مشترک یافت گردید، فرآیند پارامتریزه نموده (3-9) تمامی بهره های استاتیکی را فراهم میکند که سیستم را پایدار میکنند و را بعنوان یک کواریانس حلقه بسته تعیین مینمایند.
روش محدودیت ساختاری خروجی
مسئله فیدبک استاتیک خروجی را میتوان بصورت یک مسئله فیدبک حالت در نظر گرفت که در آن بهره های فیدبک در معرض یک محدودیت ساختاری قرار دارند. بطور ویژه، پایدار است اگر و تنها اگر پایدار باشد که در آن و یک پایه متعامد بهنجار از فضای پوچی است. ماتریس های الحاقی زیر را تعریف مینماییم:
(3-10)
و همچنین توابع زیر را در نظر میگیریم:
(3-11)
(3-12)
که در آنها یک ماتریس متقارن بصورت زیر است:

یک شر لازم و کافی برای پایدار سازی خروجی را میتوان بصورت زیر بیان نمود:
تئوری 3-5
بهره فیدبک استاتیک خروجی پایدار سازی وجود دارد، اگر و تنها اگر:
(3-13)
که در آن:

بیانگر فضای پوچی است. مجموعه تمامی بهره های فیدبک استاتیک خروجی پایدار ساز بصورت زیر پارامتریزه میگردند:
(3-14)
که در آن .
مجموعه محدب است، اما غیرمحدب است و موجب دشواری بررسی شرط (3-13) میگردد.
فرمولبندی نامعادلات ماتریسی خطی مزدوج
شرایط لازم و کافی برای فیدبک استاتیک خروجی را میتوان بر حسب نامعادلات ماتریسی خطی مزدوج و به دنبال آن روش تابع درجه دوم لیاپانوف بدست آورد. از تئوری پایداری لیاپانوف میدانیم که ماتریس سیستم حلقه بسته پایدار است، اگر و تنها اگر به ازای برخی نامعادله ماتریسی زیر را برآورده نماید:
(3-15)
برای مقادیر ثابت ، نامعادله فوق یک نامعادله ماتریسی خطی بر حسب است. LMI فوق بر حسب محدب است و میتوان از تکنیک های برنامه نویسی محدب برای یافتن بطور عددی زمانی که مشخص باشد استفاده کرد.
شرایط لازم و کافی برای پایدار سازی فیدبک استاتیک خروجی را میتوان بوسیله یافتن شرایط حل پذیری نامعادله فوق بر حسب بدست آورد.
تئوری 3-6
یک بهره فیدبک استاتیک خروجی پایدار ساز وجود دارد اگر و تنها اگر وجود داشته باشد بطوریکه:
(3-16)
(3-17)
که در آن و ماتریس های رتبه کاملی هستند که به ترتیب بر و متعامد میباشند.
نامعادله (3-16) از نامعادله (3-15) با ضرب کردن آن از سمت چپ با و از سمت راست با حاصل میشود. نامعادله (3-17) نیز از ضرب نامعادله (3-15) از سمت چپ و راست با و سپس ضرب نمودن از سمت چپ با و از سمت راست با بدست می آید. در برخی منابع نشان داده شده است که عکس این مورد نیز صحیح است، به این معنا که اگر یک وجود داشته باشد که نامعادلات (3-16) و (3-17) را برآورده نماید آنگاه یک بهره فیدبک استاتیک خروجی پایدار ساز وجود خواهد داشت.
تئوری 3-7
تمامی بهره های فیدبک استاتیک پایدار ساز را میتوان بصورت زیر پارامتریزه نمود:
(3-18)
که در آن:

همچنین یک ماتریس معین مثبت است که نامعادلات (3-16) و (3-17) را برآورده مینماید و ماتریسی است که .
توجه نمایید که (3-16) یک LMI بر حسب و (3-17) یک LMI بر حسب میباشد، اما یافتن یک چنین کاری دشوار است، چراکه این دو نامعادله بر حسب محدب نمیباشند.
تا بدین جا مشخص گردید که تمامی تئوری های ارائه شده دارای محدودیت هایی بوده و یافتن بهره ها با استفاده از این الگوریتم ها دشوار و گاها" ناممکن مینماید. در ادامه به ارائه تئوری میپردازیم که شروط کافی جهت پایدار سازی سیستم توسط فیدبک استاتیک خروجی را بیان مینماید و نتایج آن در فصول آینده مورد استفاده قرار میگیرد.
شرایط LMI کافی برای مسئله کنترل فیدبک خروجی
سیستم پیوسته با زمان زیر را در نظر میگیریم:
(3-19)
که در آن ، و ماتریس های حالت سیستم میباشند. بسیار واضح است که سیستم (3-19) از طریق فیدبک حالت قابل پایدار سازی است اگر و تنها اگر ماتریس معین مثبت و با ابعاد مناسب وجود داشته باشند بطوریکه:
(3-20)
با ضرب نامعادله فوق از دو طرف در خواهیم داشت:
(3-21)
اکنون با تعریف معادله فوق نیز بصورت زیر تبدیل خواهد شد:
(3-22)
در حقیقت این یک نتیجه شناخته شده از میباشد که نامعادله بالا بر حسب متغییر های و امکان پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس های و پایدار پذیر باشند، انگاه فیدبک سیستم (3-19) را پایدار میسازد. یافتن یک پاسخ برای این مسأله یا بیان اینکه مسأله امکان پذیر نمیباشد با الگوریتم های موجود به سادگی صورت میپذیرد.
اکنون حالت فیدبک استاتیک خروجی را در نظر میگیریم، یعنی قانون کنترلی مورد نظر ساختاری بصورت یا بطور معادل با دارد. از رابطه (3-21) داریم:
(3-23)
به دلیل اینکه نامعادلات ماتریسی فوق بطور کلی محدب نمیباشند، حل عددی آنها برای و بسیار دشوار میباشد. در ارتباط با این مسأله غیرمحدب، مسأله محدب زیر را داریم:
تعریف 3-1- مسأله W
ماتریس های معلوم ، و ماتریس رتبه کامل سطری را در نظر میگیریم. مسأله W شامل یافتن، در صورت امکان، ماتریس های ، و میشود بطوریکه:
(3-24)
مسألهW دارای دو جنبه مهم است: محدب میباشد و از اینرو میتوان آنرا را با الگوریتم های کارآمد حل نمود، علاوه بر آن چنانچه امکان پذیر باشد آنگاه مسأله پایدار سازی فیدبک استاتیک خروجی (3-23)، که محدب نمیباشد، نیز امکان پذیر خواهد بود که در ادامه نشان داده خواهد شد.
تئوری 3-8
اگر ، و پاسخ های مسأله Wباشند. آنگاه فیدبک
(3-25)
سیستم (3-19) را پایدار میسازد.
اثبات:اگر رتبه سطری کامل باشد، آنگاه از نتیجه میشود که نیز رتبه کامل است و بنابراین معکوس پذیر است در نتیجه . با استفاده از این حقیقت و تعریف رابطه (3-23) را از رابطه (3-24) بدست خواهیم آورد.
چنانچه نقطه آغاز کار را به جای رابطه (3-21)، رابطه (3-20) در نظر بگیریم، نتیجه حاصل بصورت زیر خواهد بود:
تعریف 3-2- مسألهP
ماتریس های معلوم ، و ماتریس رتبه کامل ستونی را در نظر میگیریم. مسأله P شامل یافتن، در صورت امکان، ماتریس های ، و میشود بطوریکه:
(3-26)
استنباط 1: اگر ، و پاسخ های مسألهP باشند. آنگاه فیدبک
(3-27)
سیستم (3-19) را پایدار میسازد.
امکان پذیری هر کدام از مسائلP یا W یک شرط کافی برای مسأله فیدبک استاتیک خروجی میباشد و این مزیت را دارد که به دلیل محدب بودن میتوان آنرا با الگوریتم های موثر و کارآمد مورد بررسی قرار داد.
نتایج برای سسیتم های گسسته در زمان بصورت زیر خواهد بود.
سیستم گسسته در زمان زیر را در نظر میگیریم:
(3-28)
همتای گسسته در زمان (3-23) بصورت زیر خواهد بود:
(3-29)
براساس این نامعادله ماتریسی نتایج زیر را بدست می آوریم:
تعریف 3-3- مسألهP گسسته
ماتریس های معلوم ، و ماتریس رتبه کامل ستونی را در نظر میگیریم. مسأله P گسسته شامل یافتن، در صورت امکان، ماتریس های ، و میشود بطوریکه:
(3-30)
تعریف 3-4- مسألهW گسسته:
ماتریس های معلوم ، و ماتریس رتبه کامل سطری را در نظر میگیریم. مسأله W گسسته شامل یافتن، در صورت امکان، ماتریس های ، و میشود بطوریکه:
(3-31)
مشابه مورد پیوسته با زمان نشان دادن اینکه چنانچه مسأله Pامکان پذیر باشد آنگاه قانون کنترلی سیستم (3-28) را پایدار میسازد کار دشواری نیست، همچنین چنانچه مسأله Wامکان پذیر باشد آنگاه قانون کنترلی سیستم (3-28) را پایدار میسازد.
4- طراحی کنترل کننده فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی H∞ برای سیستم های غیرخطی توصیف شده با مدل تاکاگی- سوگنو T-S
مقدمه
یک سیستم غیرخطی به مجموعه ای از معادلات غیرخطی گفته میشود که برای توصیف یک دستگاه یا فرآیند فیزیکی بکار گرفته میشوند که نمیتوان آن را توسط مجموعه ای از معادلات خطی تعریف نمود. سیستم های دینامیکی به عنوان یک مترادف برای سیستم های فیزیکی یا ریاضی استفاده میشود زمانیکه معادلات توصیف کننده نمایانگر تکامل یک پاسخ با زمان یا گاهاً با ورودی های کنترل و/ یا دیگر پارامتر های متغیر میباشند.
امروزه سیستم های کنترل غیرخطی جهت توصیف گستره وسیعی از پدیده های علمی و مهندسی استفاده میشوند. از پدیده های اجتماعی، زندگی و فیزیکی گرفته تا مهندسی و تکنولوژی. تئوری سیستم های کنترل غیرخطی برای طیف وسیعی از مسائل در فیزیک، شیمی، ریاضیات، زیست، پزشکی، اقتصاد و شاخه های مختلف مهندسی بکار گرفته شده است.
تئوری پایداری نقش مهمی در سیستم های مهندسی به ویژه در حوزه سیستم های کنترل و اتوماسیون دارد. پایداری یک سیستم دینامیکی با یا بدون ورودی های کنترلی و اغتشاش یک نیاز اساسی برای مقادیر عملی آن به ویژه در اکثر کاربرد های جهان واقعی محسوب میشود. میتوان گفت پایداری به این معناست که خروجی های سیستم و سیگنال های درونی آن در حدودی قابل قبول محدود باشند (اصطلاحاً پایداری ورودی محدود- خروجی محدود) و یا میتوان گفت خروجی های سیستم به یک حالت تعادل مورد نظر میل کنند (پایداری مجانبی).
مسائل پایدار سازی و کنترل سیستم های غیرخطی از جمله مهمترین مسائل موجود در تئوری کنترل میباشند. تاکاگی و سوگنو (T-S) روشی معروف جهت حل این مسئله در ]12[ ارائه کرده اند. روش آنها عبارتست از تبدیل سیستم غیرخطی اولیه به زیر مجموعه های خطی محلی بیان شده با قوانین اگر- آنگاه با استفاده از روش مدل سازی فازی و پس از آن پیاده سازی روش های طراحی کنترل سیستم های خطی و تولید یک کنترل کننده کننده جبرانسازی توزیع شده موازی (PDC)، به ]14[ مراجعه شود. کنترل کننده حاصل ترکیبی فازی از تمامی کنترل کننده های خطی محلی خواهد بود.
نه تنها پایدار سازی، بلکه عملکرد سیستم حلقه بسته نیز بایستی در یک PDC برای یک مدل فازی T-S یک سیستم غیرخطی اولیه در نظر گرفته شود. بطور خاص، برخی از محققان به طرز موفقیت آمیزی مسئله کنترل تعقیب فازی را برای سیستم های غیرخطی در نظر گرفته اند. با بکار گیری این روش ها، روش های کنترلی متفاوتی توسعه داده شده اند بطوریکه سیستم حلقه بسته نهایی پایدار گردد و همچنین معیار خطای تعقیب به ازای سیگنال های مرجع و محدود کمینه میشود. در بین نتایج متعددی که برای حل این مسئله وجود دارد، چند روش مهم به چشم میخورد که به نظر میرسد جهت کار بر روی مسئله کنترل تعقیب فازی فیدبک استاتیک مناسب تر میباشند، ]3[-]1[. در این نتایج یک کنترل کننده محلی اگر- آنگاه مبتنی بر مشاهده گر و یک الگوریتم دو مرحله ای جهت یافتن بهره کنترل کننده ها و مشاهده گرها ارائه شده است.
علیرغم موفقیت روش های ذکر شده در بالا، همچنان مشکلاتی جهت پرداختن به آنها وجود دارد. برای سیستم های غیرخطی که پس از مدل سازی فازی T-S، با تعداد زیر سیستم های خطی اگر- آنگاه زیادی مواجه میشویم، کنترل کننده نهایی حاصل از روش های بالا بسیار پیچیده خواهد بود و پیاده سازی عملی آن محدود و گاها" غیرممکن خواهد شد.
از سوی دیگر، بکار گرفتن کنترل کننده های فیدبک استاتیک خروجی (SOF) برای مسائل مختلف در حوزه سیستم های فازی برای بسیاری از محققان مورد علاقه بوده است. سادگی در پیاده سازی عملی کنترل کننده های SOF انگیزش اصلی فعالیت در این زمینه میباشد. با اینحال، طراحی این دسته از کنترل کننده ها بسیار پیچیده تر از کنترل کننده های فیدبک خروجی رتبه کامل معمولی میباشد.
در ادامه به ارائه پاسخی برای مسئله کنترل تعقیب فازی از طریق انتخاب یک ساختار کنترل کننده SOF خواهیم پرداخت.
طراحی کنترل کننده در این بخش به ارائه یک روش مبتنی بر LMI-LME جهت طراحی کنترل کننده SOF برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم های غیرخطی توصیف شده با مدل تاکاگی- سوگنو T-S خواهیم پرداخت. تاکاگی و سوگنو یک مدل دینامیکی فازی به منظور به نمایش درآوردن یک سیستم غیرخطی بوسیله درون یابی تکه ای چندین مدل محلی خطی به واسطه توابع عضویت ارائه نمودند. هر مدل خطی در حقیقت توسط یک قانون اگر- آنگاه بیان میشود. اکنون ما یک سیستم غیرخطی را که میتوان آنرا توسط مدل فازی T-S زیر توصیف کرد در نظر میگیریم:
قانون شماره i سیستم:
اگر و ... باشند. آنگاه:
(4-1)
که در رابطه فوق مجموعه فازی بوده و تعداد قوانین مدل میباشد. همچنین بردار حالت، ورودی کنترلی، خروجی اندازه گیری شده، به همراه و ماتریس های فضای حالت سیستم و و... متغیر های مفروض شناخته شده میباشند. همچنین اغتشاش خارجی کران دار بوده و نویز اندازه گیری کران دار است. با استفاده از فرآیند غیرفازی سازی، سیستم فازی کلی را میتوان به فرم زیر نوشت:
(4-2)
که در آن داریم:

میزان تعلق نسبی را به مشخص میکند.
اکنون یک مدل مرجع را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(4-3)
که در آن بردار حالت مرجع بوده، یک ماتریس پایدار مجانبی را مشخص میکند و بردار خروجی میباشد و همچنین ورودی مرجع کران دار میباشد. فرض بر اینست که برای تمامی زمان های یک خط سیر مطلوب برای را به نمایش میگذارد. اکنون عملکرد تعقیب مربوط به خطای تعقیب، ، را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(4-4)
که در آن زمان پایان کنترل است، یک ماتریس وزن دهی نیمه معین مثبت مشخص میباشد و برای تمامی اغتشاشات خارجی ، نویز اندازه گیری و سیگنال مرجع و همچنین سطح تضعیف تعیین شده میباشد. مفهوم فیزیکی رابطه (4-5) آنست که تأثیر هر بر روی خطای تعقیب بایستی تا میزانی کمتر از سطح مطلوب تضعیف گردد.
اکنون به منظور حصول چنین عملکردی اقدام به تعریف کنترل کننده فیدبک استاتیک خروجی زیر مینماییم:
قانون کنترل شماره j:
اگر و ... ، آنگاه:
(4-5)
اکنون چنانچه ما قانون کنترلی (4-6) را به سیستم (4-2) اعمال کنیم سیستم حلقه بسته زیر بدست می آید. برای سادگی از به جای استفاده میکنیم.
(4-6)
که در آن داریم:

و همچنین خواهیم داشت:
(4-7)
که در آن داریم:

تعریف 4-1
سیستم فازی T-S (4-2)، مدل مرجع (4-3) و عملکرد تعقیب (4-4) را در نظر بگیرید. قانون کنترلی (4-5) یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی میباشد، چنانچه (4-2) را پایدار سازد و (4-4) را برآورده نماید.
اصل 4-1
قانون کنترلی (4-5) یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی میباشد چنانچه ماتریس معین مثبت وجود داشته باشد بطوریکه نامعادلات زیر برقرار باشند:
(4-8)
اثبات
تابع لیاپانوف را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(4-9)
مشتق تابع فوق بصورت زیر خواهد بود:
(4-10)
اکنون به منظور حصول محدودیت تعقیب بر روی سیستم حلقه بسته، فرض میکنیم که از مقدار زیر کمتر باشد:
(4-11)
در نتیجه خواهیم داشت:
(4-12)
نامعادله بالا را میتوان بصورت نامعادله ماتریسی زیر نوشت:
(4-13)
از اینرو چنانچه شرایط زیر
(4-14)
برای یک مشترک برقرار باشد، نتایج زیر حاصل خواهد شد:
منفی بودن ترم در بیانگر پایداری سیستم حلقه بسته میباشد. این امر همچنین بیان میکند که برای هر سیگنال کران دار ، حالت کران دار باقی خواهد ماند.
با انتگرال گیری از (4-12) خواهیم داشت:
(4-15)
کران دار باقی خواهد ماند چرا که اثبات کردیم که سیستم حلقه بسته پایدار است و فرض نمودیم که سیگنال ورودی کران دار میباشد. از اینرو خواهیم داشت:
(4-16)
همچنین داریم:
(4-17)
در نتیجه خواهیم داشت:
(4-18)
با استدلال فوق اثبات به پایان میرسد.
اکنون هدف اصلی آن است که یک روش تک مرحله ای مبتنی بر LMI-LME جهت طراحی قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم فازی T-S (4-2) و شرط (4-4) ارائه دهیم.
تئوری 4-1
سیستم فازی T-S (4-2)، مدل مرجع (4-3) و شرط تعقیب (4-4) را در نظر بگیرید. فرض کنید ماتریس های معین مثبت ، ، به ازای و ماتریس معکوس پذیر مشترک وجود داشته باشند بطوریکه نامعادلات ماتریسی خطی (4-19) تا (4-22) و معادله ماتریسی خطی (4-23) برای مقدار تعیین شده نرم یعنی در (4-4) برقرار باشند. آنگاه قانون کنترلی (4-5) را که میتوان از (4-24) بدست آورد یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی میباشد.
(4-19)

که در آن داریم:

و
(4-20)

که در آن داریم:

و
(4-21)

که در آن:

و
(4-22)
و
(4-23)
آنگاه بهره کنترل کننده استاتیکی از رابطه زیر بدست می آید:
(4-24)
اثبات
تئوری1 از ]14[ بیان میدارد که نقطه تعادل سیستم فازی پیوسته با زمان توصیف شده با (4-6) بطور سراسری پایدار مجانبی است چنانچه وجود داشته باشد بطوریکه شروط زیر برقرار باشند:
(4-25)
که در آن:

اکنون با استفاده از متمم Schur و نتایج بالا نامعادلات ماتریسی (4-14) را میتوان بصورت زیر نوشت:
(4-26)
و
(4-27)
و
(4-28)
اکنون چنانچه نامعادله ماتریسی (4-26) را در نظر بگیریم باید به نحوی آنرا به نامعادله ماتریسی (4-19) تبدیل نماییم. برای این منظور ما ماتریس را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(4-29)
سپس ترم های مختلف موجود در ماتریس را در آن جای گذاری مینماییم. حاصل بصورت ماتریس زیر خواهد بود:
(4-30)
اکنون با استفاده از نتایج فصل 3 یعنی جایگذاری با و با در ماتریس فوق و ساده سازی ، نامعادله ماتریسی(4-19) حاصل خواهد شد.
با روندی مشابه میتوان نامعادلات ماتریسی (4-26) و (4-27) را به ترتیب به نامعادلات (4-20) و (4-21) تبدیل نمود.
از آنجاییکه روابط (4-19) تا (4-23) بصورت نامعادلات و معادلات ماتریسی خطی به ازای یک مقدار معین از میباشند، بنابراین مسئله وجود یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم فازی T-S به فرم (4-2) به امکان پذیر بودن روابط (4-19) تا (4-23) کاهش می یابد. پاسخ مسئله امکان پذیری LMI ها و LME نیز به سادگی توسط نرم افزار های نظیر MATLAB بدست می آید. از آنجاییکه هدف یافتن حداقل میباشد به این صورت عمل میکنیم که یک مقدار اولیه برای تعیین مینماییم، اگر به ازای آن مقدار روابط مورد نظر امکان پذیر بودند اقدام به کاهش مقدار مینماییم، به عنوان مثال مقدار آن را به نصف کاهش میدهیم و این کار را تا جایی انجام میدهیم که روابط پس از آن امکان پذیر نباشند، و به این ترتیب مقدار کمینه را خواهیم یافت. علاوه بر آن مزیت روش ارائه شده تک مرحله ای بودن آن میباشد.
اکنون با پرداختن به یک سیستم مثالی کارآمدی روش ارائه شده را به نمایش میگذاریم:
مثال 4-1
سیستم غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:

فرض بر اینست که . سیستم غیرخطی فوق را میتوان توسط مدل فازی T-S زیر به نمایش در آورد:
قانون شماره 1: اگر در حدود باشد، آنگاه:

که در آن:

قانون شماره 2: اگر در حدود یا باشد، آنگاه:

که در آن:

باید به این مورد توجه شود که در دو مدل بالا، هر دو ماتریس ناپایدار میباشند. اکنون برای مقادیر مدل مرجع (4-3)، ما مقادیر و را انتخاب مینماییم. برای ورودی مرجع کران دار یعنی فرض میکنیم . برای ماتریس وزن دهی در (4-4) فرض میکنیم . با فرض شرایط اولیه صفر برای سیستم غیرخطی فوق نتایج زیر حاصل میگردد:

با توجه به مقادیر فوق بهره های کنترل کننده استاتیکی بصورت زیر خواهند بود:

همچنین مقدار بهینه برای برابر است با:

به منظور مشاهده عملکرد سیستم حلقه بسته، شبیه سازی در محیط Simulink صورت پذیرفت. در این شبیه سازی سیگنال های سیگنالی سینوسی برابر ، سیگنالی سینوسی برابر و سیگنالی سینوسی برابر در نظر گرفته شده اند.

شکل(4-1): دنبال نمودن خروجی مرجع توسط کنترل کننده طراحی شده برای مثال 4-1

شکل (4-2): تغییرات سیگنال کنترلی ورودی مثال 4-1 در گذر زمان

شکل(4-3): تغییرات ضریب تضعیف تعیین شده برای مثال 4-1 در گذر زمان
5- طراحی کنترل کننده فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی H∞ برای سیستم های غیرخطی دارای تأخیر زمانی توصیف شده با مدل تاکاگی- سوگنو T-S
مقدمه
تأخیر زمانی در بسیاری از سیستم های کنترلی به دلیل تأخیر انتقال اطلاعات بین اجزا مختلف سیستم اجتناب ناپذیر است. از جمله آن سیستم ها میتوان به فرآیند های شیمیایی، شبکه های ارتباطی و سیستم های مکانیکی اشاره کرد. وجود تأخیر زمانی موجب کند شدن پاسخ سیستم، محدود شدن عملکرد کنترل کننده و یا حتی ناپایداری سیستم حلقه بسته میشود. علاوه بر آن طراحی کنترل کننده برای این سیستم ها دشوار و پیچیده میباشد. در طی دهه های گذشته روش های مختلفی برای غلبه بر دشواری های طراحی کنترل کننده برای چنین سیستم هایی ارائه شده است که کنترل کننده های فازی یکی از آنها میباشد. کنترل فازی میتوانند یک راهکار موثر برای سیستم های پیچیده، دارای نامعینی و بد تعریف شده ارائه دهد، چراکه در روش کنترل فازی یک سیستم پیچیده به چندین زیر مجموعه (قوانین فازی) تجزیه میشود و سپس یک قانون کنترلی ساده برای هر زیر سیستم جهت شبیه سازی استراتژی کنترلی انسان بکار گرفته میشود.
اگر چه روش کنترل فازی مفید میباشد ولی ایراد اصلی آن نبود روش تحلیل و طراحی سیستماتیک برای کنترل کننده های فازی است. اخیرا" بر اساس مدل فازی تاکاگی- سوگنو (T-S) روش های مختلفی برای طراحی کنترل کننده برای سیستم های غیرخطی با تأخیر زمانی ارائه شده است. در مورد ویژگی ها و توانایی های مدل فازی T-S در فصول گذشته به تفصیل توضیحاتی ارائه گردیده است.
طراحی کنترل کننده
در این قسمت تلاش خواهیم کرد تا نتایج فصل4 را به زیر کلاسی از سیستم های غیرخطی دارای تأخیر زمانی متغیر با زمان نامعلوم تعمیم دهیم. مشابه فصل4 معادله سیستم غیرخطی تأخیر دار توسط درون یابی تکه ای چندین مدل خطی محلی از طریق توابع عضویت به نمایش در می آید. در حقیقت هر مدل خطی توسط یک قانون اگر- آنگاه بیان میشود. اکنون ما یک سیستم غیرخطی تأخیر دار را که میتوان توسط مدل فازی T-S زیر توصیف نمود در نظر میگیریم:
قانون شماره i سیستم:
اگر و ... باشند. آنگاه:
(5-1)
که در رابطه فوق مجموعه فازی بوده و تعداد قوانین مدل میباشد. همچنین بردار حالت، ورودی کنترلی، خروجی اندازه گیری شده، ، ، و ماتریس های حقیق با ابعاد مناسب بوده و و... متغیر های مفروض شناخته شده میباشند. همچنین اغتشاش خارجی کران دار بوده و نویز اندازه گیری کران دار است. همچنین یک تأخیر زمانی متغیر با زمان نامشخص در سیستم میباشد که شروط و را برآورده میکند. نیز برداری است که شرایط اولیه را مشخص میکند.
با استفاده از فرآیند غیرفازی سازی سیستم فازی کلی را میتوان به فرم زیر نوشت:
(5-2)
که در آن داریم:

همچنین مدل مرجع را مشابه (4-3) بصورت زیر در نظر میگیریم:
(5-3)
و عملکرد تعقیب مربوط به خطای تعقیب بصورت زیر خواهد بود:
(5-4)
به منظور حصول چنین عملکردی دوباره اقدام به تعریف کنترل کننده استاتیکی خروجی زیر می نماییم:
قانون کنترل شماره j:
اگر و ... ، آنگاه:
(5-5)
اکنون چنانچه ما قانون کنترلی (5-5) را به سیستم (5-2) اعمال کنیم، سیستم حلقه بسته زیر بدست می آید. برای سادگی از به جای استفاده میکنیم.
(5-6)
که در آن:

تعریف 5-1
سیستم فازی T-S (5-2) ، مدل مرجع (5-3) و عملکرد تعقیب (5-4) را در نظر بگیرید. قانون کنترلی (5-5) یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی میباشد چنانچه (5-2) را پایدار سازد و (5-4) را برآورده نماید.
اصل 5-1
قانون کنترلی (5-5) یک قانون کنترلی استاتیکی خروجی برای نیل به تعقیب فازی میباشد، چنانچه ماتریس های معین مثبت مشترک و وجود داشته باشد بطوریکه نامعادلات زیر برقرار باشند:
(5-7)
اثبات
تابع لیاپانوف را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(5-8)
مشتق تابع فوق بصورت زیر خواهد بود:
(5-9)
فرض میکنیم که کمتر از مقدار زیر باشد:
(5-10)
بنابراین خواهیم داشت:

اکنون را تعریف میکنیم. خواهیم داشت:
(5-11)
از رابطه فوق خواهیم داشت:
(5-12)
توجه نمایید که:
(5-13)
و همچنین داریم . بنابراین رابطه زیر حاصل خواهد شد:
(5-14)
علاوه بر آن امکان پذیر بودن نامعادلات ماتریسی (5-7) دلالت بر امکان پذیری نامعادلات ماتریسی زیر دارد.
(5-15)
که پایداری سیستم حلقه بسته (5-2) را تضمین میکند.
به این ترتیب اثبات تکمیل میگردد.
اکنون تئوری زیر را به منظور ارائه یک روش مبتنی بر LMI-LME جهت طراحی کنترل کننده استاتیکی خروجی برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم فازی T-S (5-2) که دارای تأخیر زمانی متغیر با زمان میباشد بیان می نماییم.
تئوری 5-1
سیستم فازی T-S دارای تأخیر زمانی (5-2)، مدل مرجع (5-3) و عملکرد تعقیب (5-4) را در نظر بگیرید. فرض کنید ماتریس های معین مثبت مشترک ، و به همراه ماتریس های و ماتریس معکوس پذیر مشترک وجود دارند بطوریکه نامعادلات ماتریسی خطی (5-18) - (5-16) و معادله ماتریسی (5-19) برای مقدار تعیین شده خطای تعقیب یعنی در (5-4) برقرار باشند. آنگاه قانون کنترلی (5-5) که از (5-20) حاصل میشود یک قانون کنترلی استاتیکی خروجی برای نیل به تعقیب فازی میباشد.
(5-16)

که در آن:

و در (4-19) تعریف شده اند.
(5-17)

که در آن:

که در (4-20) تعریف شده اند.
و
(5-18)

که در آن:

و در (4-21) تعریف شده اند.
و
(5-19)
بهره کنترل کننده استاتیکی از رابطه زیر بدست می آید:
(5-20)
اثبات
اثبات این بخش دقیقا" مشابه اثبات تئوری 4-1 در فصل4 میباشد.
مشابه مورد بدون تأخیر زمانی، یافتن قانون کنترلی استاتیکی خروجی بهینه برای نیل به تعقیب فازی بسیار مورد علاقه میباشد. کنترل کننده بهینه، کنترل کننده ای است که حداقل مقدار برای کران بالای در (5-4) را موجب میشود. خوشبختانه این مسأله حداقل سازی را میتوان بصورت یک فرآیند حداقل سازی محدب بیان نمود. در این مورد کنترل کننده بهینه را میتوان بوسیله پیاده سازی مسأله مقدار ویژه LMI یافت. بنابراین اقدام به حل مسأله کمینه سازی زیر می نماییم:
(5-21)
با توجه به و (5-12)- (5-9).
مسأله کمینه سازی فوق یک مسأله بهینه سازی محدب است. پاسخ این مسأله قانون کنترلی استاتیکی خروجی بهینه برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم فازی تأخیر زمانی T-S (5-2)، مدل مرجع (5-3) و عملکرد تعقیبی (5-4) میباشد.
اکنون به یک مثال جهت نشان دادن کارآمدی نتایج بدست آمده میپردازیم:
مثال 5-1
سیستم غیرخطی دارای تأخیر زمانی زیر را در نظر بگیرید:

دوباره فرض بر آنست که . سیستم غیرخطی فوق را میتوان توسط مدل فازی T-S زیر نشان داد:
قانون شماره 1: اگر در حدود باشد، آنگاه:

که در آن:

قانون شماره 2: اگر در حدود یا باشد، آنگاه:

که در آن:

تأخیر زمانی متغیر با زمان در سیستم غیرخطی فوق برابر است با:

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *